Widerspruchsbeweis: Wähle ein Element aus I(A)\{K[t]·M} mit minimalem Rang.

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper, n ∈ N und A ∈ K^n,n _. Wir definieren I(A) = {p ∈ K[t] | p(A) = 0}.
Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(a) Es gilt I(A) \ {0} ≠ ∅.
(b) Es gibt ein Polynom M ∈ I(A), M = m₀ + m₁t + . . . m_kt^k
 mit m_k = 1, sodass für
alle p ∈ I(A) \ {0} die Eigenschaft Grad(M) ≤ Grad(p) gilt.
(c) Es sei M wie in (b). Dann existiert für jedes p ∈ I(A) ein Polynom g ∈ K[t] mit
p = Mg.
Hinweis: Führen Sie einen Widerspruchsbeweis und wählen Sie sich dazu ein Element
aus I(A)\{K[t]·M} mit minimalem Rang. Hierbei ist K[t]·M := {f ·M | f ∈ K[t]}.
Problem/Ansatz:

Ich hab Problem bei a und b.  Könnte Jemand mir helfen,

Answer 1

Hallo,

bei (a) stellt man fest, dass \( K^{n \times n} \) ein \( K \)-Vektorraum der Dimension \( n^2 \) ist. Die \( n^2 + 1 \) Elemente \( A^0, \dots, A^{n^2} \) sind daher stets linear abhängig in \( K^{n \times n} \). Das heißt, dass es nicht verschwindende Koeffizienten \( a_i \) gibt, sodass \( \sum_{i=0}^{n^2} a_i A^i = 0 \) ist.

Wir wählen \( p(t) = \sum_{i=0}^{n^2} a_i t^i \) (siehe Lemma 10.1 auf Seite 4 in https://www.minet.uni-jena.de/algebra/skripten/LinAlgAnaGeo2-Green-07.pdf).

Bei (b) wählt man aus allen normierten Polynomen aus (a) jenes mit dem kleinsten Grad aus. Dies ist das Minimalpolynom von \( A \).

Für (c) bemerkt man zunächst, dass \( I(A) \) Annihilator von \( A \) heißt. Zu zeigen ist, dass das Minimalpolynom \( M \) Erzeuger von \( I(A) \) ist.

Wir dividieren \( p \in I(A) \) mit \( \deg(p) \geq \deg(M) \) durch \( M \) mit Rest \( R \), wobei \( \deg(R) < \deg(M) \) (oder \( R = 0 \)) gilt:

\( p = Mg + R \).

Wäre \( R \neq 0 \), so fände man \( R = p - Mg \in I(A) \). Dies jedoch würde wegen \( \deg(R) < \deg(M) \) der Minimalität des Grades von \( M \) widersprechen. Somit ist \( p = Mg \).

Grüße

Mister

Comments

t-A ist kein Element von K[t]. A ist eine n x n Matrix über K.

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Danke, guter Hinweis. Die Antwort ist jetzt nicht mehr dieselbe.