Wie lange hat es für die 1. Portion gebraucht?

Question

Aufgabe:
Ein Pferd bekommt abzählbar viele Portionen Futter. Dabei frisst es immer schneller und benötigt für das Vertilgen jeder Portion nur ein Drittel der Zeit, die es für das Vertilgen der vorherigen Portion benötigt hat. Nach bereits einer Stunde hat es alles aufgefressen. Wie lange hat es für die erste Portion benötigt?

Answer 1

Wenn es eine Portion bekommen hat hat es 1 Stunde für die erste Portion benötigt.

Wenn es zwei Portionen bekommen hat dann ist t + 1/3*t = 1 oder t = 3/4. Es hat also für die erste Portion 3/4 Stunde benötigt.

Wenn es n Portionen bekommen hat ist

t + 1/3*t + 1/3^2*t + 1/3^3*t + ... + 1/3^{n-1}*t = 1
t * (1 + 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + ... + 1/3^{n-1}) = 1
t = 1 / (1 + 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3 + ... + 1/3^{n-1}) = 1 / (3^{1 - n}·(3^n - 1)/2) = 2·3^{n - 1}/(3^n - 1)

Es benötigt also für die erste Portion ca.
t = 2·3^{n - 1}/(3^n - 1) Stunden

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe!

Die Frage ist jetzt vielleicht ein bisschen blöd, aber ich bin nicht in der Lage, dass so auf einen Hauptnenner zu bringen wie du. Kann auch dran liegen, dass ich schon den ganzen Tag an er Aufgabe rumknoble und mich nicht mehr konzentrieren kann.

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Das ist eine Geometrische Reihe. Dazu gibt es Summenformeln :)

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Stimmt, danke. Daran habe ich gar nicht gedacht. Jetzt habe ich es auch raus!

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Ich hab es doch nicht raus, habe mich vertan :(

Wo ist mein Fehler:

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Schon gleich in der ersten Umformung ist ja schon ein Fehler. Da müsstest du dann ab 1 aufsummieren und nicht ab 0.

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Aber wenn ich ab 1 aufsummiere kriege ich doch nicht die 1. Portion raus, oder?

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Ich habe meinen Fehler immer noch nicht gefunden. Habe es auch mit k=1 ausprobiert, aber irgendwie geht das bei mir auch nicht auf.....

Answer 2

 

1. Portion x Minuten,

2. Portion x/3 Minuten,

3. Portion x/9 Minuten etc.

Summe = 60 Minuten

 

Angenommen,

 

a) das Pferd hat zwei Portionen bekommen

x + x/3 = 60

4/3 * x = 60

x = 60 * 3/4 = 45 (Minuten für die erste Portion)

1. Portion 45 Minuten, 2. Portion 45/3 Minuten = 15 Minuten, Summe = 60 Minuten

 

b) das Pferd hat drei Portionen bekommen

x + x/3 + x/9 = 60

13/9 * x = 60

x = 60 * 9/13 ≈ 41,54 (Minuten für die erste Portion)

1. Portion ≈ 41,54 Minuten, 2. Portion ≈ 13,85 Minuten, 3. Portion ≈ 4,62 Minuten, Summe ≈ 60,01 Minuten

 

c) das Pferd hat 4 Portionen bekommen

x + x/3 + x/9 + x/27 = 60

40/27 * x = 60

x = 60 * 27/40 = 40,5 (Minuten für die erste Portion)

1. Portion 40,5 Minuten, 2. Portion 13,5 Minuten, 3. Portion 4,5 Minuten, 4. Portion 1,5 Minuten, Summe = 60 Minuten.

 

etc.

 

Eine allgemeine Lösung hat der Mathecoach angegeben!

 

Besten Gruß