Zeigen Sie, dass eine Funktion f : Ω → R genau dann ℜ-B-messbar ist, wenn es eine höchstens

Question

Aufgabe: Sei (Ω, ℜ) ein messbarer Raum mit der bekannten σ-Algebra
 ℜ= {A ⊆ Ω | A ist abzählbar oder A^c ist abzählbar }
Zeigen Sie, dass eine Funktion f : Ω → R genau dann ℜ-B-messbar ist, wenn es eine höchstens
abzählbare Menge A ⊂ Ω gibt, sodass f auf dem Komplement A^c konstant ist.

Problem/Ansatz: Wie zeige ich die Rückrichtung bitte ?

Liebe Grüße

Fares

Answer 1

Ich habe mal Folgendes versucht:

Vorab: Wenn O abzählbar ist, ist die Aussage trivial. Ich nehme also an, dass O überabzählbar ist.

Zunächst betrachte ich die Mengen \(O_n:=f^{-1}([n,n+1])\) mit \(n \in \Z\). Diese Mengen sind messbar. Mindestens eine von ihnen ist überabzählbar, also ist ihr Komplement abzählbar. Dieses Komplement definiere ich als \(A_1\) und die zugehörigen Intervall-Punkte in \(\R\) als \(a_1:=n,b_1:=n+1\)

Ich definiere jetzt rekursiv eine Folge von Teilmengen \(A_n\) von \(O\), die (höchstens) abzählbar sind und dazu Folgen \((a_n),(b_n)\) in \(\R\) mit \(A_n^c=f^{-1}([a_n,b_n])\) und \(b_n-a_n=0.5^n\)

Die Rekursion: Wenn ich bis n gekommen bin, setze \(m_n:=0.5(a_n+b_n)\). Die Teilmengen \(f^{-1}([a_n,m_n])\), \( f^{-1}([m_n,b_n]\) sind messbar, eine ist überabzählbar, also ist ihr Komplement abzählbar, das erkläre ich zu \(A_{n+1}\) und definiere die neuen Eckpunkte sinngemäß.

Die Intervalle \([a_n,b_n]\) bilden eine Intervallschachtelung und definieren einen Grenzwert p. Wenn ich A als die Vereinigung der \(A_n\) definiere, dann erfüllt dieses A die Forderungen: Es ist als abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen abzählbar. Das Komplement wird von f auf p abgebildet.