Differentialrechnung: Tangente und Schnittpunkt einer Parabel

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Parabel f(x)=2x² - x³ im Bereich 0 <= x <= 2. Sie hat dort in jedem Punkt P(u;v) eine Tangente, die die y-Achse jeweils in einem Punkt S schneidet. Für welchen Punkt P_min (U_min ; v_min ) liegt der Schnittpunkt S_min am tiefsten und wo liegt S_min dann?

Problem/Ansatz:

Ich kann aufjedenfall aus der Aufgabe schonmal rauslesen dass ne Tangentensteigung gesucht sei, ich geh davon aus dass der angegebene Bereich der Bereich mit den Nullstellen ist (meine berechnung gab die 0 und 2 aus). Bei der Tangente muss ich ja zunächst den y-Achsenabschnitt bestimmen, also

f(0) = 2(0)² - (0)³ = 0

Dann brauche ich ja noch die Tangentensteigung, diese ist bei

f'(0) = 4(0) - 3(0)² = 0

Darauf folgt dann ja die Tangente:

\( \frac{y-2}{x-0} \) = 0

Woraus sich dann bildet

y - 2 = x /+2

y = x + 2

Sache ist jetzt dass ich nicht verstehe ob das alles ist oder ob das überhaupt das ist, was gefragt ist. Wie muss ich da weitergehen?

Answer 1

Hallo,

Ich kann auf jedenfall aus der Aufgabe schonmal rauslesen dass ne Tangentensteigung gesucht sei.

gar ncht mal. Es ist vielmehr der Schnittpunkt der Tangente mit der Y-Achse gesucht. Wähle dazu ganz allgemein eine Koordinate \(x=u\). Dort hat die Funktion den Wert \(f(u)\) und die Steigung \(f'(u)\). Daraus lässt dich die Punkt-Richtung-Form der Tangente \(t\) aufstellen:$$t: \space t(x) = f'(u)(x- u) + f(u)$$Die Y-Koordinate \(s\), wo diese Tangente die Y-Achse schneidet ist demnach:$$\begin{aligned}t: \space t(x) &= f'(u)(x- u) + f(u) \\ &= f'(u) x \underbrace{- uf'(u) + f(u)}_{=s} \\ \implies s &= f(u) - u f'(u) && \left|\, = t(x=0) \right.\end{aligned}$$Für diesen Wert ist eine Extremstelle (das Minimum) gesucht. Also leite nach \(u\) ab:$$\begin{aligned}\frac{\partial s}{\partial u } &= f'(u) - f'(u) - uf''(u) \\ &= - u f''(u)\end{aligned}$$Es gibt also eine Extremstelle bei \(u=0\) und eine bei \(f''(u)=0\). Aus dem Verlauf des Polynoms im Intervall \([0;2]\) kann man \(u=0\) als Minimum ausschließen. Bleibt \(f''(u)=0\) d.h.:$$\begin{aligned}f(x) &= 2x^2 - x^3 \\ f'(x) &= 4x - 3x^2 \\ f''(x) &= 4 - 6x \\ \implies f''(u_{\min}) &= 4 - 6u_{\min} = 0 \\ \ \implies u_{\min} &= \frac 23  \end{aligned}$$Daraus folgt dann$$\begin{aligned} P_{\min} &= (u_{\min}; v_{\min}) = \left(\frac 23;\, \frac{16}{27} \right) \\ s_{\min} &= f(u_{\min}) - u_{\min} \cdot f'(u_{\min}) \\&= \frac{16}{27} - \frac 23 \cdot \frac 43 \\ &= -\frac 8{27} \end{aligned}$$der Plot zeigt das nochmal

~plot~ 2x^2-x^3;{0|-8/27};{2/3|16/27};(4/3)(x-2/3)+16/27;[[-3|4|-2|3]] ~plot~

Bem.: wenn Du auch analytisch zeigen willst, dass es sich bei \(s_{\min}\) um ein Minimum handelt, darfst Du nicht \(f'''(u)\) betrachten, sondern die Ableitung von \(\partial s/\partial u\)!

Gruß Werner

Answer 2

Der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt am tiefsten, wenn die Wendetangente betrachtet wird.

Die Wendestelle liegt bei x=2/3.