Aloha :)
$$f(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}-\frac32|x|=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2}{2}-x&\text{für }x\ge0\\[1ex]\frac{x^2}{2}+2x&\text{für }x<0\end{array}\right.$$Bis dahin, schreibst du, bist du gekommen.
Jetzt kannst du die beiden Darstellungen in die Scheitelpunktform bringen. Dazu klammerst du den Vorfaktor aus:$$\frac{x^2}{2}-x=\frac12\left(x^2-2x\right)\quad;\quad\frac{x^2}{2}+2x=\frac12\left(x^2+4x\right)$$Dann nimmst du die Zahl vor dem \(x\), halbierst diese und quadierst sie danach. Das Vorzeichen ist egal, es fällt durch das Quadrieren weg. Im ersten Fall wird aus der \(2\) dann \(\left(\frac22\right)^2=1\). Im zweiten Fall wird aus der \(4\) dann \(\left(\frac42\right)^2=4\). Dies nennt man die "quadratische Ergänzung". Diese baust du nun in die Klammer ein, indem du sie addierst und direkt wieder subtrahierst (sonst würde sich ja der Wert ändern):$$\frac12(x^2-2x+\underbrace{1-1}_{=0})\quad;\quad\frac12(x^2+4x+\underbrace{4-4}_{=0})$$Jetzt ziehst du den letzen Summanden aus der Klammer raus:$$\frac12(x^2-2x+1)-\frac12\quad;\quad\frac12(x^2+4x+4)-2$$und kannst nun die Klammer mit Hilfe einer binomsichen Formel als Quadrat schreiben:$$\frac12(x-1)^2-\frac12\quad;\quad\frac12(x+2)^2-2$$Damit lautet unsere Funktion in der Punkt-Scheitel-Form:$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac12(x-1)^2-\frac12&\text{für }x\ge0\\[1ex]\frac12(x+2)^2-2&\text{für }x<0\end{array}\right.$$
Du kannst nun die beiden Scheitelpunkte bequem ablesen:
$$S_1\left(1\bigg|-\frac12\right)\text{ für }x\ge0\quad;\quad S_2\left(-2\bigg|-2\right)\text{ für }x<0$$
~plot~ x^2/2+x/2-3/2*abs(x) ; {-2|-2} ; {1|-0,5} ~plot~
