Beweise, das 3^2n + 7 durch 8 teilbar ist

Question

Aufgabe:

3²ⁿ + 7 ist durch 8 teilbar für alle n ≥ 0

Problem/Ansatz:

Aufgabe aus dem Internet.

3²⁽ⁿ⁺¹⁾ + 7 = 3²ⁿ⁺² + 7

                  = 3²*3²ⁿ + 7

                  = 9 * 3²ⁿ + 7

Bis zu diesm Punkt kam ich auch selber, aber danach steht als Ergebnis

                  = (3²ⁿ + 7) + 8*3²ⁿ

wobei ich die 8*3²ⁿ nicht rechnerisch nachvollziehen kann

kann mir das jemand mit nebenrechnung erklären?

Answer 1

9 mal 3²ⁿ ist gleich   1 mal 3²ⁿ plus 8 mal 3²ⁿ.

Comments

Könnten Sie mehr ins Detail gehen?

---

Aufgabe aus dem Internet.

Ist die Lösung auch aus dem Internet ?
Besser als ein Induktionsbeweis ist Rechnung modulo 8 :
3²ⁿ + 7 = 9^n + 7  ≡  1^n - 1  ≡  0 (8)

---

Ja das ist sie ich mache die Aufgaben um besser in der Induktion zu werden.

Answer 2

Ich finde das so eventuell etwas einfacher nachvollziehbar

3^(2·(n + 1)) + 7 ist durch 8 teilbar
3^(2·n + 2) + 7 ist durch 8 teilbar
9·3^(2·n) + 7 ist durch 8 teilbar
9·3^(2·n) + 7 + 8·7 ist durch 8 teilbar
9·3^(2·n) + 9·7 ist durch 8 teilbar
9·(3^(2·n) + 7) ist durch 8 teilbar → wahr

Comments

Ich finde das so eventuell etwas einfacher nachvollziehbar

Deine Art, Induktionsbeweise aufzuschreiben war - mit Verlaub - noch nie einfach nachvollziehbar, ja man könnte ihr sogar das Prädikat "unvollständig", wenn nicht gar "falsch" verleihen.

Hier fehlt zur ersten Zeile der Text, ob es sich um eine bekannte Aussage, auf der man dann weiter aufbauen kann und will handelt, oder ob es sich um eine zu beweisende Behauptung handelt - Letzteres trifft hier zu.
Und aus einer zu zeigenden Bahauptung etwas Wahres abzuleiten beweist ja nun überhaupt nichts.