Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL

Question

Aufgabe: Das Anfangswertproblem
x¨(t) + 4 ˙x(t) + 4x(t) = 0
beschreibt eine gedämpfte Schwingung (x: Auslenkung, v = ˙x: Geschwindigkeit).
(a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung.
(b) Bestimmen Sie die spezielle Lösung für das Anfangswertproblem x(0) = 1, x˙(0) = −1.

Problem/Ansatz: 1) Die Gleichung charakterisiert: λ^2 + 4λ + 4 = 0

                            2) PQ-Formel Lösen:   λ1,2 = \( \frac{-4}{2} \) ± √(\( \frac{4}{2} \))^2 - 4 =  λ1 ,2 = -2

                            3) Lösungsformel für 2 gleiche reelle Lös.        X(t) = (c1 + c2)*e^-2x  = allgemeine Lösung

b) Anfangswertbedinungen  einsetzen:

1=(c1+c2)*e²*1

-1=(c1+c2)*e²*-1                Lösung GLS: c1= cos(2) , c2=sin(2)

                                          Spezielle Lösung: x(t) = (cos(2) +sin(2)e^-2x

Das sind meine Lösungen würde gerne wissen ob es Richtig ist?

Danke.

Answer 1

Hallo,

Punkt 1 und 2 sind richtig, die Lösung nicht.

Lösung:

x(t) =C₁ e^(-2x) +C₂ x e^(-2x)

damit ist Aufgabe b falsch:

richtige Lösung:

x(t)= e^(-2x)( x+1)

Comments

Sorry, aber ich versteh nicht was ich da falsch mache.

Ich habe bei b) ein Gleichungssystem zu lösen.

Diese lautet bei mir. 1=x(0)=(c1*1 + c2) e^-2*1

                                -1= x'(0)=(c1*(-1) +c2) e^-2*(-1)

Was verstehe ich da falsch? Bitte um Hilfe

---

Hallo,

Es liegt eine doppelte reelle Nullstelle vor (-2)

Die Lösung ist unter Seite 2 , Punkt1  , Zeile 2 doppelte reelle Nullstelle abzulesen.

http://www.micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

Mit der falschen Lösung von a) ist dann natürlich auch Aufgabe b falsch.

---

Aloso λ1 = -2 , λ2 = -2 , damit habe ich 2 Gleiche reelle Lösungen.

Die Formel für die 2 gleiche reellen Lösung lautet :  x(t)=(c1t +c2)e^-λt die habe ich ausgewählt.

Die Formel für 2 unterschiedliche reelle Lösungen lautet: x(t)=c1e^λ1t + c2e^λ2t

Warum ist dann a) falsch.

---

Das hast Du geschrieben:   3) Lösungsformel für 2 gleiche reelle Lös.        X(t) = (c1 + c2)*e^-2x  = allgemeine Lösung und das ist falsch

---

Schritt 3 ist die Formel zur Lösung.

Die Formel zur Lösung lautet:    X(t) = (c1 + c2)*e^-2x  Das ist die Formel für 2 gleiche reelle Lösungen oder?

Aber was ist dann die allgemeine Lösung?

---

Hallo,

Die Lösung ist:

x(t) =C₁ e^(-2x) +C₂ x e^(-2x) , das x hast Du nicht gechrieben

siehe mein Link:

Die Lösung ist unter Seite 2 , Punkt 1  , Zeile 2 doppelte reelle Nullstelle abzulesen.

http://www.micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.…

Das steht aber auch dort so.

---

Ja ich glaube ich habe das Problem gefunden.

Es ist ja eigentlich nur eine Lösung denn λ1 = -2, λ2 = -2 mit reellen doppelwert.

Vielen Dank!

---

Mach Dir keine Gedanken, so einfach sind DGL nicht.

Frag ruhig , ich helfe Dir gern :)

---

Hallo, ich muss nochmals fragen ich habe gerade bei der Aufgabenstellung b) mit den Anfangswertbedingungen weitergerechnet.

Habe für C1 = 1, und für C2 = -3 rausbekommen.

Ich habe das so eingesetzt:

          x(t)  = 1 = c1e^(-2)*0 + c2*0e^(-2)*0

         x'(t)  = -1 = -c1e^(-2)*0 + c2*0e^(-2)*0 + (-2)c1e^(-2)*0+(-2)c2*0e^(-2)*0

Sorry das ich nochmals störe aber irgendwie sind mir die Differenzialgleichungen nicht so ganz klar.

---

Hallo,

x(t)= C₁ e^(-2x) +C₂ x e^(-2x)

x'(t)= -2C₁e^(-2x) +C₂ (1-2x) e^(-2x)

ich habe erhalten: C₁=C₂= 1

---

Wie lautet diese Gleichungen eingesetzt? Oder ist das ein Gleichungssystem?

Ich komme da nicht hin.

---

Oder ist das ein Gleichungssystem? ------------->JA, denn Du hast ja 2 Anfangsbedingungen:

x(0) = 1 eingesetzt in  x(t)= C1 e^(-2x) +C2 x e^(-2x)

x˙(0) = −1 eingesetzt in x'(t)= -2C1e^(-2x) +C2 (1-2x) e^(-2x

---

Hallo nochmal das ist meine letzte Aufgabe.

Das Anfangswertproblem
x¨(t) + 6 ˙x(t) + 4x(t) = 0
beschreibt eine gedämpfte Schwingung (x: Auslenkung, v = ˙x: Geschwindigkeit).
(a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung.
(b) Bestimmen Sie die spezielle Lösung für das Anfangswertproblem

λ1 = √5 -3 und  λ2 = -√5 -3

a)  Dann habe ich die Formel eingesetzt: x(t) = c1e^λ1x + c2e^λ2x

schaut dann so aus: x(t) = c1e^√5 -3x + c2e^ -√5 -3x

b)  AWB einsetzen:

      x(t) = 1 = c1e^√5 -3x + c2e^ -√5 -3x

      x'8t) = -1 =

Da weiß ich jetzt wieder nicht weiter.  Bitte nochmal um Hilfe. Danke

---

Hallo,

Ich habe erhalten:

x(t) = C₁ e^(-3 - √(5)) x) + C₂ e^((√5 - 3) x)

b kann ich nicht vergleichen, die AWB fehlt.

---

Ups sind nicht mitgegangen sorry x(0) = 1 und X'(0) = -1

---

1.) x(0)=1

x(t) = C₁ e^(-3 - √(5)) x) + C₂ e^((√5 - 3) x)

1= C₁+C₂

_{2.) x'(0)= -1}

_{x'(t)= -C1 (3+√5) e^((-3-√5)x) + C2 (-3+√5) e^((-3+√5)x)}

_{-1 = -C1(3+√5) +C2 (√5-3)}

_{---------------------------------------------------}

_{----------->Gleichungssystem 2 Gl. mit  2 Unbekannten:}

_{A)   1= C1+C2}

_{B)   -1 = -C1(3+√5) +C2 (√5-3)}

_{------------------------------------}

_{C1= (5 -2√5) /10}

_{C2= (5 +2√5) /10}

_Lösung: 

_{x(t) = ( (5 -2√5) /10 )e^(-3 - √(5)) x) + (5 +2√5) /10)  e^((√5 - 3) x)}