Beweisen Sie formal-symbolisch, dass die Dreiecke ABC und BDE ähnlich sind.

Question

Für die Flächen der Dreiecke ABC und BDE gilt: \( \frac{A_{A B C}}{A_{B D E}}=\frac{225}{49} \)
a) Beweisen Sie formal-symbolisch, dass die Dreiecke ABC und BDE ähnlich sind.
b) Berechnen Sie den Radius \( \mathrm{r}=\overline{A M}=\overline{M D} \) des Halbkreises, wenn \( \overline{A C}=12 \) und \( \overline{B C}=9 \) ist.

 Hallo, ich bins wieder ;)

Kann mir jemand erklären, was mit formal-symbolisch gemaint ist. Ich wäre jeden sehr dankbar.

Comments

Für die Flächen der Dreiecke ...

ich glaub' da fehlt ein Bild bzw. die Information wo die Punkte \(A\) bis \(E\) liegen. Weil zwei Dreiecke nicht ähnlich sind, nur weil ihre Flächen in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen.

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Du hast recht. Ich habe die Grafik vergessen. ;)

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"... dass die Dreiecke ABC und BDE ähnlich sind"

Ich würde dies gerne etwas anders formulieren, nämlich:

dass die Dreiecke ABC und DBE ähnlich sind

Grund: Bei der Betrachtung der Ähnlichkeit kommt es auf die korrekte Zuordnung der einander entsprechenden Seiten, Ecken und Winkel an.

Answer 1

Hallo,

Kann mir jemand erklären, was mit formal-symbolisch gemeint ist.

Mit Symbolen und ganz formal wahrscheinlich ... $$\begin{aligned} \angle CBA &= \angle DBE \\ \angle ACB &= \angle BED = \frac {\pi}2 \\ \implies \triangle ABC &\propto \triangle DBE \end{aligned}$$siehe auch W:W:W-Satz. Ich vermute mal, dass \(\propto\) das Symbol für 'ähnlich' ist.

b) $$\begin{aligned} |AB| &= \sqrt{|CA|^2 + |BC|^2} \\ &= \sqrt{12^2 + 9^2} = 15 \\ |BD| &=\sqrt{\frac {49}{225}} \cdot |AB| = 7 \\ |CD| &= |CB| + |BD| = 9 + 7 = 16 \\ r &= |AM| = \frac 12 |AD| \\  &= \frac 12 \sqrt{|AC|^2 + |CD|^2} \\&=  \frac 12 \sqrt{12^2 + 16^2} \\&= 10 \end{aligned}$$

Comments

Die Antwort (b) enthielt einen Fehler. Ich habe es korrigiert.

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Könntest du mir vielleicht weiter helfen?

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Könntest du mir vielleicht weiter helfen?

Weiß ich nicht, ob ich Dir wirklich helfen kann.

Die Begründung zu \(\angle CBA = \angle DBE\) ist der Scheitelwinkelsatz, der besagt, dass Scheitelwinkel gleich sind, was wiederum so selbstverständlich ist, dass ich das nicht mehr hinschreibe.

Dass \(\angle ACB = \angle BED = \pi/2\) ist, folgt aus dem Satz des Thales.

Warum kann man aus der Gleichheit der Winkel die Ähnlichkeit folgern?

steht schon in meiner Antwort (s.o.) darunter - der W:W:W-Satz besagt, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, wenn sie in zwei (und somit in drei) Winkeln übereinstimmen. Dass Dreiecke drei  gleiche Winkel haben, wenn schon zwei Winkel gleich sind, folgt aus dem Satz über die Winkelsumme im Dreieck.

Die rote Schrift kann man übrigens ganz schlecht lesen.

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Tipp: gib keine Hausaufgaben ab, die Du selber nicht verstanden hast. Versuche immer, sie selber zu verstehen. Und wenn nicht, dann frage doch einfach nach.

Ich kenne Deine persönliche Ziele in diesem Konterxt nicht, aber das Verstehen von Mathematik scheint nicht dazu zu gehören. Und solange das so ist, solltest Du auch nicht versuchen, es jemand anders bei zu bringen.

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hahaha danke ;) meiner meinug gehört didaktik nicht zur mathematik. Ja mir ist klar das es wichtig ist, wie man wissen vermittelt und sich damit beschäftigt, jedoch ist es viel wichtiger Praxis erfahrungen zu sammeln, denn dies ist in der Lehramtsausbildung fast gar nicht vorhanden. Für meiner Seite kann ich nur sagen, dass ich gott sei dank viel Praxis erfahrungen habe von Kindern 0- 14 Jahren. Liebe grüße.

Ps. ich habe meine Übungsblätter verbessert und auch mitlerweile verstanden. Denn es ist gut fehler zu machen, damit man daraus lernt! Was übrigens für schüler auch sehr zum vorteil ist.

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... daraus schließe ich jetzt, dass Du nicht vor hast, Mathematik oder ein anderes der MINT-Fächer zu lehren. Und mit 'Mathematik' meine ich jetzt nicht Rechnen in der Grundschule Klasse 1 bis 3.

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Wie kommst du jetzt darauf??

Erklär mir dan eine Sache. Warum müssen Lehrämtler in den 1,2,3, Semester Didaktik belegen, wenn die meisten nicht mal erfahrung in der Praxis haben? Ist es nicht sinnvoller, diese Didaktik wärend der Arbeit als Lehrerin zusätzlich Kurse zu belegen? Damit man einfach über seine eigene Arbeit reflektieren kann um daraus einfach lernen kann?

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Wie kommst du jetzt darauf??

aus 'meiner meinug gehört didaktik nicht zur mathematik' hatte ich das geschlossen. Und was Deine Erfahrung betrifft, das bezweifle ich ja in keiner Weise. Klar ist Erfahrung sinnvoll, war aber gar nicht das Thema.

Als Du hier im Forum Deine ersten Fragen gestellt hattest, hatte ich Dich im ersten Moment auf eine Schülerin der 6.Klasse (ungefähr) eigeschätzt. Die Fragen passten, dann aber nicht mehr dazu. Meiner persönlichen Meinung nach, zeigt das, was Du hier mehr oder weniger ablieferst, große Lücken im Abstrahieren und logischen Schlußfolgern, sowie Wissenslücken was rudimentäre Sätze der Mathematik angeht.

Versteh' mich jetzt nicht falsch! Das wäre völlig ok, wenn Du eine Schülerin der 6'ten Klasse wärst. Dafür gibt's ja die Schule um das zu lernen. Aber anscheinend musst Du im Besitz eines Abiturzeugnisses sein.

Und wenn Du nun mit diesem Know How (so wie es hier erscheint - wohlgemerkt) Schüler(inne)n, die so ca. 12 Jahre oder älter sind, wirklich Mathematik beibringen sollst, dann kann das IMHO nur schief gehen.

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Ich melde mich dan bei dir in ca 3 Jahren. Dann lade ich Dich gerne in eine Unterrichtsstunde von mir ein und kannst mir ein Feedback zu meiner Arbeit geben.

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gerne :-) ich nehme Dich beim Wort!

Eine E-mail-Adresse unter der Du mich erreichen kannst, findest Du in meinem Profil.

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Super. Woher kommst du eigentlich?

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.. schick mir 'ne E-mail!

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Hab dir eine email geschickt ;)

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hi , ich hätte eine verständnisfrage.

wie bist du bei bd vorgegangen? das verhältnis der dreiecke ist ja 225/49. warum benutzt du nicht das, sondern wurzel von 49/225?

ich würde gerne den gedanken dahinter verstehen.

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das Verhältnis der Dreiecke ist ja 225/49. Warum benutzt du nicht das, sondern Wurzel von 49/225? Ich würde gerne den Gedanken dahinter verstehen

Schau Dir die beiden Dreiecke in folgenden Bild an:

Das kleinere Dreieck \(\triangle ABC\) hat die Höhe \(h\) (rot) und die Grundseite \(c\) (blau) und damit ist seine Fläche: $$F_1 = \frac 12 hc$$Das größere Dreieck \(\triangle A'B'C'\) hat die Höhe \(2h\) und die Grundeite \(2c\) und seine Fläche \(F_2\) ist$$F_2 = \frac 12 (2h) \cdot (2c) = \frac 12 hc \cdot 2^2 = F_1 \cdot 2^2$$Oben in dem Bild passt das kleine Dreieck viermal in das große. Versuche es selber mal mit einem Dreieck mit dreifacher Grundseite und dreifacher Höhe.

Das gilt ganz allgemein: wächst die Länge um einen Faktor \(k\), so wächst die Fläche mit \(k^2\) und das zugehörige Volumen mit \(k^3\). Ein Würfel mit der Kantenlänge 10 hat das 1000-fache (\(=10^3\)-fache) Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge 10.

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danke, das war sehr einleuchtend! jetzt ist es mir klar