$$ \text {Seien }(x_n)_r \text { und } (x_n)_i \text{ rationale bzw. irrationale Teilfolgen beliebiger konvergenter Folgen. Dann gilt: } \\ x_{n_r} \rightarrow x \Rightarrow f(x_{n_r}) \rightarrow \frac{1}{q} \\ x_{n_i} \rightarrow x \Rightarrow f(x_{n_i}) \rightarrow 0. \\ \text {Nun sollen diese Folgen stets gegen EINEN Funktionswert f(x) konvergieren. Damit scheiden alle} \\ \text {rationalen Zahlen aus, da deren Funktionswert ungleich 0 ist.} \\ \text {Damit sind sie nicht Grenzwert konvergenter irrationaler Folgen und keine stetigen Punkte.} $$
$$ \text {Nun ist zu zeigen, dass alle rationalen Folgen, die gegen eine irrationale Zahl konvergieren} \\ \text {in die Funktion eingesetzt gegen ihren Funktionswert 0 konvergieren, also:} \\ x_{n_r} \rightarrow x \Rightarrow f(x_{n_r}) \rightarrow 0 \\ \text {womit die irrationalen Zahlen stetig sind.} \\ \text {Dazu betrachtest du eine Umgebung einer beliebigen irrationalen Zahl x also ein Intervall:} \\ \left[x-α , x+α\right] \text {Innerhalb dieses Intervalls liegen unendlich viele rationale Zahlen.} \\ \text {Allerdings gibt es zu jedem gegebenen Nenner } q^{,} \text { nur endlich viele rationale Zahlen, die in diesem} \\ \text {Intervall liegen können. Damit kann es auch nur endlich viele rationale Zahlen in diesem Intervall} \\ \text {geben, die einen Nenner } q^{,} \leq q_{max} \text { für einen bestimmten maximalen Nenner haben.} \\ \text {Von diesen endlich vielen rationalen Zahlen muss es nun eine mit dem kleinsten Abstand zu x geben.} \\ \text {Dieser Abstand muss größer 0 sein, da x irrational ist.} \\ \text {Sei dieser Abstand ε, dann folgt, dass im Intervall} \left] x-ε , x+ε \right[ \text { keine rationale Zahl mit einem} \\ \text {Nenner kleiner/gleich } q_{max} \text { liegt.} \\ \text {Da bei jeder gegen x konvergenten rationalen Folge } (x_{n_r})_r \text { für immer größer werdende r alle} \\ \text {weiteren Folgenglieder in solchen immer kleiner werdenden Intervallen liegen, müssen die} \\ \text {Folgenglieder immer größer werdende Nenner q haben.} \\ \text {Damit konvergieren die Funktionswerte der Folgenglieder } f(x_{n_r}) = \frac {1} {q} \text { gegen 0.} $$
