Finden Sie die Nullstellen des Polynoms

Question

Aufgabe:

Finden Sie die Nullstellen des Polynoms f(x) = 2x^5-11x^4+16x^3+2x^2-18x+9 indem Sie mittels Polynomdivision in Linearfaktoren zerlegen. Achten Sie bei der Angabe der Nullstellen auch auf Multiplizitäten falls welche auftreten.

Problem/Ansatz:

Ich habe mittels Polynomdivision das Polynom berechnet, und hänge ab dieser Gleichung fest 2x^2-5x-5+4/(x-1).

Ich weiß nicht wie ich daraus die Nullstellen  berechnen kann.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

x=1 ist offenbar eine Nullstelle und die Polynomdivision durch (x-1) muss(!) daher aufgehen. Du hast dich also verrechnet!

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So, ic habe noch mal nachgerechnet, x=1 ist eine doppelte Nullstelle des vorgelegten Polynoms, (x-1) kann also zweimal herausdividiert werden, nicht aber dreimal, was du offenbar versucht hast.

Mach weiter mit dem Polynom \(2x^3-7x^2+9\) und dessen Nullstellen.

Answer 1

Aloha :)$$f(x)=2x^5-11x^4+16x^3+2x^2-18x+9$$Wir erraten Nullstellen bei \(x=1,x=-1,x=3\). Daher ist das Polynom teilbar durch:$$(x-1)(x+1)(x-3)=(x^2-1)(x-3)=x^3-3x^2-x+3$$Polynomdivision liefert:$$(2x^5-11x^4+16x^3+2x^2-18x+9)/(x^3-3x^2-x+3)=2x^2-5x+3$$Und wir haben einen Zwischenstand:$$f(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(2x^2-5x+3)$$Beim letzten Faktor wollte ich gerade die quadratische Gleichung lösen, als ich die Lösung \(x=1\) gesehen habe. Wir zerlegen daher:$$(2x^2-5x+3)/(x-1)=2x-3$$Damit sind wir soweit:$$f(x)=2(x-1)^2(x+1)(x-3)(x-1,5)$$Wir haben eine doppelte Nullstelle bei \(x=1\) und drei einfache Nullstellen bei \(x=-1,x=3,x=1,5\).

Answer 2

2·x^5 - 11·x^4 + 16·x^3 + 2·x^2 - 18·x + 9 = 0

Eine Wertetabelle ergibt erste Nullstellen bei x = -1 ; x = 1 ; x = 3

(2·x^5 - 11·x^4 + 16·x^3 + 2·x^2 - 18·x + 9) / (x + 1) = 2·x^4 - 13·x^3 + 29·x^2 - 27·x + 9

(2·x^4 - 13·x^3 + 29·x^2 - 27·x + 9) / (x - 1) = 2·x^3 - 11·x^2 + 18·x - 9

(2·x^3 - 11·x^2 + 18·x - 9) / (x - 3) = 2·x^2 - 5·x + 3

Die restlichen Nullstellen findet man mit einer Lösungsformel

2·x^2 - 5·x + 3 = 0 --> x = 1.5 ∨ x = 1

x = 1 ist also eine doppelte Nullstelle, das andere sind alles einfache Nullstellen.