Nullstellen des Polynoms f(x)= x^3+ 2x+1 berechnen

Question

Hallo kann mir jemand bitte erklären, wie man die Nullstellen von folgendem Polynom bestimmt. f(x)= x^3+ 2x+1

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Bist du sicher, dass dein Polynom so stimmt?

Answer 1

$$\text{substituierte }x=u-\frac2{3u}\text{ und erhalte }u^3-\frac8{27u^3}+1=0.$$$$\text{Substituiere }z=u^3\text{ und erhalte }z^2+z-\frac8{27}=0.$$Bestimme \(z\) mithilfe der \(pq\)-Formel.
Berechne \(u\) aus \(z\) und anschließend \(x\) aus \(u\). Lösung sollte sein:$$x_N=\frac16\left(\sqrt[3]{12(\sqrt{177}-9)}-\sqrt[3]{12(\sqrt{177}+9)}\right).$$

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Schöne Spezialfall-Substitution -> stimmt mit x1 überein.

Das wäre dann die 4. Lösungsmethode.

vergl. https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Answer 2

hier würde ich mit dem Näherungsverfahren arbeiten :)

$$ { x }_{ 1 } = { x }_{ 0 }-\frac {  f(x)  }{ f´(x) }$$

Als Anfangswert nehme ich mal x₀ = 0,5.

Nun ableiten:

$$ f'(x) = 3x^2 +2 $$

Jetzt in die Formel einsetzen. Die Lösung müsste bei etwa -0,453 liegen.

Answer 3

Hallo kann mir jemand bitte erklären, wie man die Nullstellen
von folgendem Polynom bestimmt. f(x)= x³+ 2x+1

Die erste Nullstelle muß fast immer geraten und probiert werden.

Bei deinem Beispiel geht es leider nicht da x ungefähr -0.454 ist.

Es gibt keine algebraische Lösung. Es muß ein z.B. das Newton
Verfahren angewendet werden.

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Es gibt keine algebraische Lösung.
Woher stammt diese Erkenntnis?

Answer 4

Du schreibst leider nicht, welche Klassenstufe, denn es gibt 3 (Lern-)Phasen:

1) bis etwa Ende 10. Klasse:

Raten + Polynomdivision -> da es hier nicht funktioniert kam von Lu die berechtigte Frage, ob Du oder Aufgabensteller nicht falsch aufgeschrieben...?

2) Abi: Newton Verfahren für 1 reelle Nullstelle (siehe Wikipedia)

3) Studium (nicht alle; BWL nicht) & Wissenschaftler:

Es gibt analog zur pq- auch für Gleichungen 3. Grades exakte PQRST-Formel.  siehe

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php  

Alles mit komplexen Zahlen. 3 Nullstellen:

x1 = [(3(sqrt(177)-9))^{1/3}-(3(sqrt(177)+9))^{1/3}]*2^{2/3}/6 =-0.45339765151640376764474653900...

und 2 komplexe siehe Bild: