Partielle Ableitung in Fehlerfortpflanzung (Fehlerrechnung)

Question

Aufgabe:

… Partielle Ableitung in der Fehlerfortpflanzung (Fehlerrechnung)

Problem/Ansatz:

Hallo, zum Thema Fehlerfortflanzung in der Fehlerrechung haben wir die Hausaufgabe erhalten, G partiell abzuleiten, um den maximalen Fehler zu ermitteln.

G ist hierbei G = \( \frac{64*pi*m*l*R^2}{d^4*T^2} \)

m = Masse, R = Radius, l = Länge, d = Durchmesser, T = Periodendauer.

Im Internet habe ich mich bereits über partielle Ableitungen informiert und diese auch "einigermaßen" gut nachvollziehen können. Allerdings habe ich nichts keine Aufgabe gefunden welche in etwa diesem Umfang entspricht und habe nicht die geringste Ahnung, wie ich hier nur Anfangen soll.

Comments

Dabei wird davon ausgegangen, dass alle Werte in der Funktion G fehlerbehaftet sind.

Answer 1

Aloha :)$$G(m,l,R,d,T)=\frac{64\pi m l R^2}{d^4T^2}$$Wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt, kann man nach diesen einzeln ableiten. Wenn wir in diesem Beispiel hier nach \(m\) ableiten wollen, betrachten wir alle anderen Variablen (also: \(l,R,d,T\)) als Konstanten. Als Kennzeichnung für dieses partielle Ableiten schreiben wir an Stelle eines d ein "geschwungenes" d in der Form \(\partial\). Die partiellen Ableitungen lauten hier:

$$\frac{\partial G}{\partial m}=\frac{64\pi l R^2}{d^4T^2}=\frac{G}{m}$$$$\frac{\partial G}{\partial l}=\frac{64\pi m R^2}{d^4T^2}=\frac{G}{l}$$$$\frac{\partial G}{\partial R}=2\cdot\frac{64\pi m l R}{d^4T^2}=\frac{2G}{R}$$$$\frac{\partial G}{\partial d}=(-4)\cdot\frac{64\pi m l R^2}{d^5T^2}=-\frac{4G}{d}$$$$\frac{\partial G}{\partial T}=(-2)\cdot\frac{64\pi m l R^2}{d^5T^3}=-\frac{2G}{T}$$Der Fehler von \(G\) ist nun nach der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung:

$$(\delta G)^2=\left(\frac{\partial G}{\partial m}\delta m\right)^2+\left(\frac{\partial G}{\partial l}\delta l\right)^2+\left(\frac{\partial G}{\partial R}\delta R\right)^2+\left(\frac{\partial G}{\partial d}\delta d\right)^2+\left(\frac{\partial G}{\partial T}\delta T\right)^2$$$$\phantom{(\delta G)^2}=\left(\frac{G}{m}\delta m\right)^2+\left(\frac{G}{l}\delta l\right)^2+\left(\frac{2G}{R}\delta R\right)^2+\left(-\frac{4G}{d}\delta d\right)^2+\left(-\frac{2G}{T}\delta T\right)^2$$$$\phantom{(\delta G)^2}=G^2\left(\left(\frac{\delta m}{m}\right)^2+\left(\frac{\delta l}{l}\right)^2+\left(\frac{2\delta R}{R}\right)^2+\left(\frac{4\delta d}{d}\right)^2+\left(\frac{2\delta T}{T}\right)^2\right)$$Der Fehler ist die Wurzel aus dem Ganzen ;)

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Aaah ich verstehe, vielen dank. Die ganzen Konstanten in dem Bruch haben mich am Anfang extremst irritiert, so dass ich gar nicht wusste wie ich überhaupt anfangen soll aber jetzt kann ich es sehr gut nachvollziehen. Ist im Prinzip gar nicht so schwer. :)

Answer 2

Hallo

 wenn du normal ableiten kannst sind die partiellen Ableitungen sehr einfach. wenn du nach T ableitest behandelst du alle anderen großen wie Konstanten , ebenso mit allen anderen Größen, dann setzt du in diese partiellen Ableitungen deine Messwerte ein, multiplizierst sie mit dem Fehler , dann alles quadrieren und daraus die Wurzel. Es ist nur wegen der vielen variablen ne ziemliche Schreibarbeit!

Gruß lul

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Verstehe danke :)