Aloha :)
Im ersten Schritt würde ich die Formel ersmtal vereinfachen:$$\nu=\frac{(\nu_p+\nu_s)^2\pink{-2}}{2\cdot\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)}=\frac{\left((\nu_p+\nu_s)^2\pink{-1}\right)\pink{-1}}{2\cdot\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)}=\frac12-\frac12\cdot\frac{1}{(\nu_p+\nu_s)^2-1}$$
Anschließend würde ich die partiellen Ableitungen bilden, wobei man tatsächlich nur eine zu berechnen braucht und die andere wegen der Symmetrie geschenkt bekommt (Du kannst in der Formel die beiden Variablen \(\nu_p\) und \(\nu_s\) vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert):
$$\frac{\partial\nu}{\partial\nu_p}=-\frac12\left(\frac{\overbrace{1}^{=u}}{\underbrace{(\nu_p+\nu_s)^2-1}_{=v}}\right)'=-\frac12\cdot\frac{\overbrace{0}^{=u'}\cdot\overbrace{\left({(\nu_p+\nu_s)^2-1}\right)}^{=v}-\overbrace{1}^{=u}\cdot\overbrace{\left({2(\nu_p+\nu_s)\cdot1}\right)}^{=v'}}{\underbrace{\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)^2}_{=v^2}}$$
Das kann man im Kopf zusammenfassen:$$\frac{\partial\nu}{\partial\nu_p}=\frac{\nu_p+\nu_s}{\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)^2}\quad;\quad \frac{\partial\nu}{\partial\nu_s}=\frac{\nu_p+\nu_s}{\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)^2}=\frac{\partial\nu}{\partial\nu_p}$$
Der Größtfehler ist daher:$$\Delta\nu_{\text{max}}=\left|\frac{\partial\nu}{\partial\nu_p}\right|\cdot\Delta\nu_p+\left|\frac{\partial\nu}{\partial\nu_s}\right|\cdot\Delta\nu_s=\frac{\left|\,\nu_p+\nu_s\,\right|}{\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)^2}\cdot\left(\Delta\nu_p+\Delta\nu_s\right)$$
Der Fehler gemäß der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung wäre:$$\Delta\nu=\sqrt{\left(\frac{\partial\nu}{\partial\nu_p}\cdot\Delta\nu_p\right)^2+\left(\frac{\partial\nu}{\partial\nu_s}\cdot\Delta\nu_s\right)^2}=\frac{\left|\,\nu_p+\nu_s\,\right|}{\left((\nu_p+\nu_s)^2-1\right)^2}\cdot\sqrt{(\Delta\nu_p)^2+(\Delta\nu_s)^2}$$
