Finden des relativen Fehlers | Fehlerfortpflanzung

Question

Ich soll den relativen Fehler  ρ(x^2) und ρ(x^3) für x ≠ 0 bestimmen.

Definition für den absoluten Fehler:

x* sei eine Annäherung an den exakten Wert x.

Definition für den relativen Fehler:

für x ≠ 0

wie genau gehe ich jetzt vor, also wie benutze ich die Formeln, ich bin etwas verwirrt.

Answer 1

Aloha :)

Hier geht es darum, die relativen Fehler von \(x^2\) bzw \(x^3\) auf den relativen Fehler von \(x\) zurückzuführen. Dazu nutzen wir aus, dass die mittlere relative Änderung einer Messgröße \(\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\) in etwa gleich der momentanten Änderung \(\frac{df(x)}{dx}\) dieser Messgröße ist, falls das betrachte Änderungsintervall \(\Delta x\) nicht zu groß ist:$$\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\approx\frac{df}{dx}=f'(x)\quad\text{für kleine \(\Delta x\)}.$$

Konkret heißt das hier:$$\rho(x^2)=\frac{\Delta(x^2)}{x^2}=\frac{\frac{d(x^2)}{dx}\,\Delta x}{x^2}=\frac{2x\,\Delta x}{x^2}=\frac{2\Delta x}{x}=2\,\frac{\Delta x}{x}=2\rho(x)$$$$\rho(x^3)=\frac{\Delta(x^3)}{x^3}=\frac{\frac{d(x^3)}{dx}\,\Delta x}{x^3}=\frac{3x^2\,\Delta x}{x^3}=\frac{3\Delta x}{x}=3\,\frac{\Delta x}{x}=3\rho(x)$$

Comments

ich kriege bei p(x^3) irgendwie 4*p(x) raus..

Answer 2

Beipiel

x* = 123
x = 144

Absoluter Fehler
| 123 - 144 | = 21

Relativer Fehler
21 / 144 = 0.1458 = 14.58 %

Answer 3

Hallo,

die Formulierung der Aufgabe scheint mir nicht ganz klar. Ich vermute mal, Du sollst den relativen Fehler \(\rho(x^2)\) in Abhängigkeit von \(\rho(x)\) untersuchen. Wenn ich die Näherung für x mit y bezeichne:

$$\rho(x^2)=\frac{y^2-x^2}{x^2}=\frac{y-x}{x}\frac{y+x}{x}=\rho(x)\frac{y+x}{x}$$

Das wäre eine exakte Charakterisierung. Wenn man jetzt davon ausgeht, dass \(y \approx x\) ist, erhält man

$$\rho(x^2) \approx 2 \rho(x)$$

Gruß mathhilf

Answer 4

Definiere x* = (x + h)

Dann ist der relative Fehler

p(x) = ((x + h) - x) / x = h / x

p(x^2) = ((x + h)^2 - x^2) / x^2 = 2·h / x + (h / x)^2 ≈ 2·p(x)

p(x^3) = ((x + h)^3 - x^3) / x^3 = 3·h / x + 3·(h / x)^2 + (h / x)^3 ≈3·p(x)