Gaußsche Fehlerfortpflanzung mit der idealen Gasgleichung

Question

Aufgabe:

In einem Experiment sollen wir das Volumen V von CO₂ in einem Reaktionsgefäß bestimmen.

Folgende Werte sind gegeben: p = 0.3000 Torr, n = 40.00 mmol, T = 25.00 ◦C und R = 8.314 J mol−1 K−1

Nun soll die Gauß´sche Fehlerfortpflanzung auf die folgende genannte Formel angewendet werden: pV = nRT

Wir sollen davon ausgehen, dass nur die Temperatur T (∆T = ± 0.20 ◦C), n (∆n = ± 1.0 mmol)
und der Druck p (∆p = ± 0.010 Torr) fehlerbehaftet sind und somit V inklusive Fehler ∆V berechnen sollen.

Danke für die Hilfe :-)

Answer 1

Aloha :)

Wir schreiben das Volumen als Funktion der Messgrößen, der Wert \(R\) ist konstant:$$V(n,p,T)=\frac{nRT}{p}$$Nach der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung lautet der Gesamtfehler:

$$\Delta V=\sqrt{\left(\frac{\partial V}{\partial n}\cdot\Delta n\right)^2+\left(\frac{\partial V}{\partial p}\cdot\Delta p\right)^2+\left(\frac{\partial V}{\partial T}\cdot\Delta T\right)^2}$$$$\phantom{\Delta V}=\sqrt{\left(\frac{RT}{p}\cdot\Delta n\right)^2+\left(-\frac{nRT}{p^2}\cdot\Delta p\right)^2+\left(\frac{nR}{p}\cdot\Delta T\right)^2}$$

Das Minuszeichen im mittleren Term können wir wegen des Quadrates vernachlässigen. Die Vorfaktoren vor den Fehlern können wir durch das berechnete Volumen \(V\) ersetzen:

$$\phantom{\Delta V}=\sqrt{\left(\frac{V}{n}\cdot\Delta n\right)^2+\left(\frac{V}{p}\cdot\Delta p\right)^2+\left(\frac{V}{T}\cdot\Delta T\right)^2}$$$$\phantom{\Delta V}=V\cdot\sqrt{\left(\frac{\Delta n}{n}\right)^2+\left(\frac{\Delta p}{p}\right)^2+\left(\frac{\Delta T}{T}\right)^2}$$