Winkel schneidet Schaubild der Funktion. Winkel herausfinden

Question

Aufgabe:

Unter welchem Winkel \( \alpha \) schneidet das Schaubild der Funktion \( f \) die \( x \) -Achse, mit
$$ f(x)=\log _{10}(20+x)-1 ? $$
Geben Sie den Winkel in Grad gerundet auf 4 Nachkommastellen an.

Kann mir wer eine Lösung zeigen ?

Answer 1

Aloha :)$$f(x)=\log_{10}(20+x)-1$$Wir benötigen zunächst die Stelle \(x_0\), bei der die Funktion die \(x\)-Achse schneidet:$$\left.f(x_0)\stackrel{!}{=}0\quad\right|\;$$$$\left.\log_{10}(20+x_0)-1=0\quad\right|\;+1$$$$\left.\log_{10}(20+x_0)=1\quad\right|\;10^{\cdots}$$$$\left.20+x_0=10^1=10\quad\right|\;-20$$$$\left.x_0=-10\quad\right.$$Nun benötigen wir die Ableitung der Funktion an dieser Stelle:$$f'(x)=\left(\log_{10}(20+x)\right)'=\left(\frac{\ln(20+x)}{\ln(10)}\right)'=\frac{1}{\ln(10)}\cdot\frac{1}{20+x}$$$$f'(-10)=\frac{1}{\ln(10)}\cdot\frac{1}{10}$$Der Tangens des gesuchten Winkels \(\alpha\) ist gleich dieser Ableitung:$$\tan\alpha=\frac{1}{10\ln(10)}\quad\Rightarrow\quad\alpha=\arctan\left(\frac{1}{10\ln(10)}\right)\approx\boxed{2,4868^\circ}$$