Erwartungswert Beweis (Und absolute Stetigkeit)

Question

Aufgabe \( 3(6 \text { Punkte }): \) The random variable \( X \) has values in \( \mathbb{N} \) and its expected value \( E(X)<\infty \) exists. Show \( (3 \mathrm{P.}) \)
$$ E(X)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} P(X \geq n) $$
Do you find a similar relation between expected value and distribution function for a nonnegative random variable which is absolutely continuous? \( (3 \mathrm{P.}) \) (expected value \( = \) Erwartungswert, absolutely continuous \( = \) absolut stetig

Ich weiß leider gar nicht, wie ich das machen soll

Answer 1

$$ \mathbb{E}(X) = \sum_{k=1}^\infty k P( X = k ) = \sum_{k=1}^\infty \sum_{n=1}^k P(X=k) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=n}^\infty P(X=k) = \sum_{n=1}^\infty P(X\ge n)$$

Comments

$$ \mathbb{E}(X) = \int_0^\infty (1 -  F(t)) dt  $$ für nicht negtive ZV. Beweis mit Satz von Fubini.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert#cite_ref-5