Wieso ist die Funktion mit der Gleichung y= x^3 streng monoton?

Question

Damit es nur monoton steigend ist, muss x ja = oder > 0 sein. Bei strenger Monotonie muss es > 0 sein. Bei der Gleichung x³ haben wir ja einen Sattelpunkt. Wieso ist es dann nicht monoton sondern streng monoton?

Answer 1

Streng monoton bedeutet sobald du etwas größeres für x einsetzt bekommst du auch etwas größeres für y heraus.

Es müsste dann also gelten.

f(x+h) = f(x)

Das gilt aber nirgends für die kubische Funktion. Sobald du also etwas größeres als 0 für x einsetzt kommt nicht mehr 0 heraus sondern eben etwas größeres.

Answer 2

Das Kriterium der Ableitung ist hinreichend, aber nicht notwendig. Mathematisch korrekt bedeutet strenge, steigende Monotonie, dass eine kleinere Zahl auch immer einen kleineren Funktionswert hat. Wenn x<y, dann gilt bei strenger Monotonie f(x)<f(y). Bei f(x)=x^3 ist dies leicht zu sehen. Jeder Nachfolger ist größer als sein Vorgänger

Comments

Hallo. Wie würde man das denn beweisen das x^3 streng monoton wachsend ist? 

 

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Z.B folgendermaßen: Für \(f(x)=x^3\) und \(a>b\) gilt$$f(a)-f(b)=a^3-b^3=\underbrace{(a-b)}_{>0}\cdot\underbrace{(a^2+ab+b^2)}_{>0}>0\text{, also }f(a)>f(b).$$

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Dass die 2. Klammer >0 ist, ist unmittelbar einsichtig? Wie?

Ich würde es so beweisen:

Sei h>0:

z.z.: f(x+h)-f(x) > 0

Bew:

f(x+h)-f(x) = x³ + 3x²h + 3xh² +h³ - x³ = 3x²h + 3xh² +h³ = h(3x² + 3xh +h²)

= h(0,75x² + (1,5x)² + 2(1,5x)h +h²) = h(0,75x² + (1,5x + h)² )

Falls x=0, dann ist blau=0 und rot>0, also der ganze Term>0.

Falls x≠0, dann ist blau>0 und rot≥0, also der ganze Term>0.       q.e.d.