Mittelsenkrechte besteht genau aus jenen Punkten, die zu a denselben Abstand haben wie zu b .

Question

Hallo, ich weiß absolut nicht wie ich bei der Aufgabe vorgehen soll bzw. wie ich zu einer Lösung komme.

Für \( v=\left(\begin{array}{c}v_{1} \\ v_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) sei \( v_{\perp}=\left(\begin{array}{c}-v_{2} \\ v_{1}\end{array}\right) \)
Dann gilt offensichtlich \( v \perp v_{\perp} \) und \( \|v\|_{2}=\left\|v_{\perp}\right\|_{2} \)
Gegeben seien nun \( a, b \in \mathbb{R}^{2} \) mit \( a \neq b . \) Wir setzen
$$ M_{a, b}=\frac{a+b}{2}+\operatorname{span}\left\{(b-a)_{\perp}\right\} $$
Man nennt die Gerade \( M_{a, b} \) die Mittelsenkrechte von \( a \) und \( b, \) denn sie verläuft durch den Mittelpunkt \( (a+b) / 2 \) in der Richtung senkrecht zum Verbindungsvektor \( b-a \)
Zeigen Sie:
$$ M_{a, b}=\left\{p \in \mathbb{R}^{2}:\|a-p\|_{2}=\|b-p\|_{2}\right\} $$
d. h. die Mittelsenkrechte besteht genau aus jenen Punkten, die zu \( a \) denselben Abstand haben wie zu \( b \).

Answer 1

Beweis durch Nachrechnen: Mit den Vor'en über a und b

sei p ∈ M . ==>   Es gibt x ∈ ℝ mit  p = (a+b)/2 + x*(b-a)_⊥ .

==>  p-a =  (b-a)/2 + x*(b-a)⊥ .

==>  (p-a)*(p-a) = (b-a)^2 / 4 + 2*(b-a)/2 *  x*(b-a)⊥  + ( x*(b-a)⊥ )^2

Wegen (b-a)*(b-a)⊥ = 0 also

             (p-a)*(p-a) = (b-a)^2 / 4 + ( x*(b-a)⊥ )^2 .

Das gleiche Ergebnis entsteht bei (p-b)*(p-b) .

==>  ∥p-a∥₂=∥p-b∥₂    ==>   ∥a−p∥₂=∥b−p∥_{2    .}

Sei umgekehrt p∈ℝ^2 mit  ∥a−p∥₂=∥b−p∥₂

==>   (a-p)^2 = (a-p)^2

==> p^2 - 2pa + a^2 = p^2 - 2pb + b^2

<=> 2p(b-a) = b^2 - a^2 = (b-a)*(b+a)

<=> p*(b-a)  =    (b-a)*(b+a)/2

<=> ( p - (b+a)/2 ) * (b-a) = 0

Da b-a (nach Vor. ) nicht 0 ist

==> Es gibt x∈ℝ mit  ( p - (b+a)/2 ) = x*(b-a)_⊥

Umstellen zeigt:   p ∈ M.   q.e.d.