Arten von Beweisen - so viele es geht

Question

Aufgabe:

1. Wiederholen Sie die vollständige Induktion.
2. Denken Sie sich einen aus kleinen Würfeln zusammengesetzten Würfel. Entnehmen Sie dem Würfel entlang einer Kante alle kleinen Würfel. Prüfen und begründen Sie: Die Zahl der kleinen Würfel, aus denen das Gebilde besteht, ist durch 6 teilbar.

Ausblick auf die Übung:
3. Vorstellen der gegenseitigen Begründungen und eventuell weitere
4. Worin genau besteht die Argumentationsbasis? Alle Schritte explizit machen.
5. Was lernt man aus dem Beispiel für die eigene Beweiskompetenz?

Problem/Ansatz:

Bezüglich dieser Aufgabe habe ich ein Problem, beim umdenken der Aufgabe wenn es darum geht andere Beweisarten zu finden. So habe ich über die vollständige Induktion "6I n^3-n" bewiesen. Mir fehlen jedoch 3 andere Beweisarten.

Answer 1

Hallo

2. Beweis

n^3-n=n(n^2-1)=(n+1)*n*(n-1)

das Produkt von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen. von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen sind  ist eine durch 3 teilbar, eine durch 2 Teilbar, das Produkt also durch 2*3 teilbar

3. Beweis, zähle die Klötzchen anders. eine Säule (n-1)^2 *n +2 Scheiben n*(n-1) also (n-1)^2+2n*(n-1)=(n-1)*3n ist durch 3 tb und n oder n-1 durch 2 tb

4. Beweis n=rmod 6 n^3=r^3mod 6;  r=1,2,.3,4,5

r^3=1, 2^3=8=2mod 6,  27=3mod 6,  64=4mod 6 , 125=5mod6 dh. n=rmod 6 folgt n^3=r mod 6 also n^3-n mod 6 =r-r mod 6  =0 mod 6

Gruß lul

ich halte den Induktionsbeweis  und den 4 ten für den schlechtesten, weil man die 2*3 nicht benutzt. Teilbarkeit beweist man meist am besten direkt.

Answer 2

Der Würfel besteht nach Entnahme einer Kante aus n kleinen Würfeln noch aus G·h=(n²-1)·n=(n+1)·(n-1)·n kleinen Würfeln. (n-1)·n·(n+1) ist das Produkt dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen. Davon ist eine immer durch 2 und eine immer durch 3 teilbar. Also ist (n-1)·n·(n+1) für alle n∈ℕ durch 6 teilbar.