Flächeninhalt zwischen Funktionsgraphen

Question

Anwendung der Integralrechnung

Aufgabe: Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Kurven f und g über dem Intervall I.

a.) f(x)=x^3+x^2            ^{g(x)=x^2+x}               I=(-2 ; 1)

^{b.) f(x)=1/2x^4-1/2x^2}          g(x)= x^3-x          I= (-1 ; 2)

Answer 1

Hallo,

für Aufgabe a) sieht das so aus:

Du hast hier also drei Teilstücke, von -2 bis (zum 1. Schnittpunkt) -1, von -1 bis (zum 2. Schnittpunkt) 0 und von 0 bis 1.

Analog dazu b)

Wenn du weitere Fragen hast, melde dich bitte.
Gruß, Silvia

Comments

Hey.

Danke erstmal, die Skizzen sind hilfreich, jedoch hab ich wirklich keine Ahnung wie ich das ausrechen soll.

Könntest du mir weiter helfen?

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Das kann ich gerne machen, wenn du noch warten kannst, weil ich jetzt erst einmal zwei Stunden unterwegs bin. Vielleicht hilft dir jemand anderer, sonst melde ich mich später wieder.

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Vielen Danke, ich warte auf Sie.

Lassen Sie sich Zeit.

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OK, Aufgabe a, linkes Teilstück von -2 bis -1.

Du bildest die Differenzfunktion

\(h(x) = f(x)-g(x)=x^3+x^2-(x^2+x)=x^3+x^2-x^2-x=x^3-x\) und berechnest das Integral

\(\int_{-2}^{-1}x^3-x \quad dx=\biggl\lbrack\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2\biggr\rbrack_{-2}^{-1}=\\ |\frac{1}{4}\cdot (-1)^4-\frac{1}{2}\cdot (-1)^2-(\frac{1}{4}\cdot (-2)^4-\frac{1}{2}\cdot (-2)^2)|=\\ |\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-4+2|=2,25\)

Wenn du das verstanden hast, machst du das Gleiche für die beiden anderen Teilstücke und addierst die drei Flächeninhalte.

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Dankeschön.

Hab es jetzt verstanden!

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Prima, zur Kontrolle für b): Die addierten Flächen ergeben 0,82 FE

Answer 2

Hallo

zuerst die Schnittpunkte berechnen, dann die Differenz der Funktionen von linken Ran bis 1- Schnittstelle berechnen dann zur nächsten Schnittstelle, usw, bis zur oberen Grenze. dann die Beträge der  jeweils 3 Integrale addieren,

Unterteilen muss man, weil mal die eine Funktion , mal die andere größer ist, deshalb dann  auch die Beträge nehmen,

hilfreich ist natürlich auch sich die 2 Funktionen platten zu lassen!

Gruß lul

Answer 3

f ( x ) = x^3 + x^2           
g ( x ) = x^2 + x             
I=(-2 ; 1)

Schnittpunkte
x^3 + x^2 =x^2 + x
x^3 = x
x = 0

x^2 = 1
x = + 1
x = - 1

Differenzfuntkion
d = f - g
d = x^3 + x^2 - ( x^2 + x )
d = x^3 - x
Stammfunktion
S = x^4/4 - x^2/2

[ S ] zwischen -1 und 0
0^4/4 - (0)^2 minus ( (-1)^4/4 - (-1)^2/2)
minus ( 1/4 - 1/2 )
A1:= 1/4

jetzt selbst ausrechnen
[ S ] zwischen -2 und -1 = -9/4  => | - 9/4 |
[ S ] zwischen 0 und 1 = -1/4  => | -1/4 |

Alle 3 Flächen aufsummieren.

Comments

Vielen Dank. Tolle Erklärung, kann alles nachvollziehen.

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Gern geschehen.