Bestimmen Sie die Koeffizienten von X^m−1 und X^m−2 des Polynoms (X+1X)^m für jede ganze Zahl m≥2

Question

Bestimmen Sie die Koeffizienten von \( X^{m-1} \) und \( X^{m-2} \) des Polynoms \( \left(X+\frac{1}{X}\right)^{m} \) für jede ganze Zahl \( m \geq 2 \)

Comments

Das ist kein Polynom, fehlt da was?

---

eigentlich nicht

---

m = 2:

$$ \left( X + \frac{1}{X} \right)^2 = X^2 + 2 + \frac{1}{X^2} $$

Answer 1

Hey hp,

Wenn du den binomischen Lehrsatz anwendest, erhältst du:

$$\left(X+\dfrac{1}{X}\right)^m=\sum\limits_{k=0}^m\begin{pmatrix} m\\k\end{pmatrix} \underbrace{X^k\left(\dfrac{1}{X}\right)^{m-k}}_{X^{2k-m}}$$

Da \(k\in\mathbb{N}\), wirst du niemals den Summanden \(X^{m-1}\) erhalten können:

$$2k-m\overset{!}{=}m-1\quad\Longleftrightarrow\quad k=m-\frac12$$

Aber das würde bedeuten, dass \(k\notin\mathbb{N}\). Widerspruch. Man könnte also sagen, dass der Koeffizient von \(X^{m-1}\) gleich Null ist.

Du kannst allerdings den Summanden \(X^{m-2}\) erhalten und zwar genau dann, wenn \(k=m-1\). In dem Fall hast du den Koeffizienten:

$$ \begin{pmatrix} m\\m-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m\\1\end{pmatrix}=m.$$

Viel Spaß!
MathePeter

Answer 2

Aloha :)

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^m=\sum\limits_{k=0}^m\binom{m}{k}x^{m-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^m\binom{m}{k}x^{m-k}x^{-k}=\sum\limits_{k=0}^m\binom{m}{k}x^{m-2k}$$Wir lesen ab:$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^m=x^m+0\cdot x^{m-1}+m\cdot x^{m-2}+\cdots$$Die gesuchten Koeffizenten sind also \(0\) für \(x^{m-1}\) und \(m\) für \(x^{m-2}\).