Bestimmen Sie die Koeffizienten von Xm−1 und Xm−2 des Polynoms (X+1X)m für jede ganze Zahl m≥2

Question

Bestimmen Sie die Koeffizienten von $X^{m-1}$ und $X^{m-2}$ des Polynoms $\left(X+\frac{1}{X}\right)^{m}$ für jede ganze Zahl $m \geq 2$

Comments

Das ist kein Polynom, fehlt da was?

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eigentlich nicht

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m = 2:

$$\left( X + \frac{1}{X} \right)^2 = X^2 + 2 + \frac{1}{X^2}$$

Answer 1

Hey hp,

Wenn du den binomischen Lehrsatz anwendest, erhältst du:

$$\left(X+\dfrac{1}{X}\right)^m=\sum\limits_{k=0}^m\begin{pmatrix} m\\k\end{pmatrix} \underbrace{X^k\left(\dfrac{1}{X}\right)^{m-k}}_{X^{2k-m}}$$

Da $k\in\mathbb{N}$, wirst du niemals den Summanden $X^{m-1}$ erhalten können:

$$2k-m\overset{!}{=}m-1\quad\Longleftrightarrow\quad k=m-\frac12$$

Aber das würde bedeuten, dass $k\notin\mathbb{N}$. Widerspruch. Man könnte also sagen, dass der Koeffizient von $X^{m-1}$ gleich Null ist.

Du kannst allerdings den Summanden $X^{m-2}$ erhalten und zwar genau dann, wenn $k=m-1$. In dem Fall hast du den Koeffizienten:

$$\begin{pmatrix} m\\m-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} m\\1\end{pmatrix}=m.$$

Viel Spaß!
MathePeter

Answer 2

Aloha :)

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^m=\sum\limits_{k=0}^m\binom{m}{k}x^{m-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^m\binom{m}{k}x^{m-k}x^{-k}=\sum\limits_{k=0}^m\binom{m}{k}x^{m-2k}$$Wir lesen ab:$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^m=x^m+0\cdot x^{m-1}+m\cdot x^{m-2}+\cdots$$Die gesuchten Koeffizenten sind also $0$ für $x^{m-1}$ und $m$ für $x^{m-2}$.