Zeigen Sie, dass f(x) = f(x+a) (stetige Funktion)

Question

Aufgabe:

$$\text{ Es sei f: }\left[0,1\right]\to\mathbb{R}\text{ eine stetige Funktion, wobei f(0)=f(1)=0 und f(x) > 0 für }x∈ ]0,1[.$$

$$\text{ Zeigen Sie, dass es für jedes }a∈]0,1[\text{ ein }x∈]0,1-a[\text{ gibt so dass f(x)=f(x+a)}$$

Problem/Ansatz:

$$\lim\limits_{x\to\ x-a}\text{ f(x) }=\text{ f(x-a) für }x∈]0,1-a[ $$

$$\text{ Mir ist klar das ich die Eigenschaften der stetigen Funktion für den beweis nutzen muss,  }$$ $$\text{doch bin ich bis jetzt auf nichts sinnvolles gekommen. }$$

Answer 1

Hallo James,

betrachte die Funktion $$d(x) = f(x+a) - f(x), \quad 0 \le x \le 1-a$$da \(f\) stetig ist, ist \(d\) ebenso stetig. \(d(0) = f(a) \gt 0\) und \(d(1-a) = - f(1-a) \lt 0\).

Nach irgendeinem Satz, dessen Namen mir gerade nicht einfällt, muss es demnach zwischen \(x=0\) und \(x=1-a\) ein \(x_0\) geben, für das \(d(x_0)= 0\) gilt. Und daraus folgt: \(f(x_0) = f(x_0+a)\).