Aufgabe:
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Aufgabe \( 1 \quad \) (6 Punkte)
Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum und sei \( \emptyset \neq M \subset X \). Für \( x \in X \) sei
\( \operatorname{dist}(x, M)=\inf \{d(x, z): z \in M\} \)
(a) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass
\( |\operatorname{dist}(x, M)-\operatorname{dist}(y, M)| \leq d(x, y) \quad \text { für alle } x, y \in X \)
und folgern Sie, dass die Funktion \( X \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \operatorname{dist}(x, M) \) stetig ist.
(b) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass \( \bar{M}=\{x \in X: \operatorname{dist}(x, M)=0\} \).
(c) (2 Punkte) Seien \( A, B \) nichtleere abgeschlossene Teilmengen von \( X \) mit \( A \cap B=\emptyset \). Zeigen Sie, dass eine stetige Funktion \( f: X \rightarrow[0,1] \) existiert mit \( A=\{x \in X: f(x)= \) \( 0\} \) und \( B=\{x \in X: f(x)=1\} \).
Eine Familie \( \left(A_{i}\right)_{i \in I} \) von Teilmengen von \( X \) hat die endliche Durschnittseigenschaft, falls für jede endliche Teilmenge \( J \subset I \) gilt: \( \bigcap_{j \in J} A_{j} \neq \emptyset \).
