Zeigen Sie: Es gibt offene Mengen U ⊂ X (n ∈ N)

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 4 (4 Punkte)
Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum und sei \( A \subset X \) abgeschlossen. Zeigen Sie: Es gibt offene Mengen \( U_{n} \subset X(n \in \mathbb{N}) \) mit
\( A=\bigcap_{n \in \mathbb{N}} U_{n} \)

Answer 1

Hallo,

setze \(U_n = \bigcup_{a\in A}B(a,\,1/n), \,\,n\in\mathbb{N}\). Offensichtlich ist \(U_n\) offen und man überprüft, dass \(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_n = A\).