Aufgabe:
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Aufgabe 3 (5 Punkte)
Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum.
(a) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass durch
\( \delta(x, y)=\frac{d(x, y)}{1+d(x, y)} \quad(x, y \in X) \)
eine Metrik auf \( X \) definiert wird.
(Hinweis: Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Funktion \( [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, t \mapsto \frac{t}{1+t} \).)
(b) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass die metrischen Räume \( (X, d) \) und \( (X, \delta) \) diesselben offenen Mengen besitzen.
(c) (1 Punkt) Sei \( d \) die euklidische Metrik auf \( \mathbb{R} \). Begründen Sie, dass \( d \) und \( \delta \) nicht äquivalent sind.
