Intuitiven Beweis mathematisch korrekt formulieren; Beweis zum Abschluss von Mengen

Question

Ich habe folgende Aufgabe und theoretisch ist es ganz klar, dass die Menge in (a) abgeschlossen ist, wenn <=r gilt, da alle y für d(x,y)=r den Rand bilden. Und in der Vorlesung hatten wir, dass der Abschluss A vereinigt mit dem Rand von A ist. Direkt aus dieser Aussage folgt also auch (b). Nun bin ich aber unsicher, wie ich das mathematisch formulieren kann und ersuche mir Hilfe.

$$(a)\text{ Sei }(M,d)\text{ ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass für jedes }x\in M\\\hspace{1cm}\text{ und jedes }r>0\text{ die Menge }\left\{y\in M:d(x,y)\leq r\right\}\text{ abgeschlossen ist.}\\ (b)\text{ Entscheiden Sie, ob für jeden metrischen Raum }(M,d)\text{ und jedes }x\in M,r>0\text{ gilt, dass}\\\hspace{1cm}\overline{\left\{y\in M:d(x,y)< r\right\}}=\left\{y\in M:d(x,y)\le r\right\}.$$

Answer 1

a) Sei y ∈ M mit d(x,y) > r. Dann gibt es eine Umgebung um y, die disjunkt zu {x ∈ M  | d(x,y) ≤ r} ist. Also ist y kein Häufungspunkt von {x ∈ M  | d(x,y) ≤ r}.

b) Sei d: M×M → ℝ mit d(x,y) = 0 falls x = y und d(x,y) = 1 falls x ≠ y. Dann ist d eine Metrik auf M (die sogenannte diskrete Metrik).

Direkt aus dieser Aussage folgt also auch (b)

Auch wenn d die diskrete Metrik ist?