Zeigen Sie: Es gibt offene Mengen U ⊂ X (n ∈ N)

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 4 (4 Punkte)
Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum und sei $A \subset X$ abgeschlossen. Zeigen Sie: Es gibt offene Mengen $U_{n} \subset X(n \in \mathbb{N})$ mit
$A=\bigcap_{n \in \mathbb{N}} U_{n}$

Answer 1

Hallo,

setze $U_n = \bigcup_{a\in A}B(a,\,1/n), \,\,n\in\mathbb{N}$. Offensichtlich ist $U_n$ offen und man überprüft, dass $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_n = A$.