Trigonometrische Funktionen äquivalent zu diesen Reihen

Question

Aufgabe:

Finden Sie Formeln für:

$$1+cos(x)+cos(2x)+...+cos(nx)$$

$$sin(x)+sin(2x)+...+sin(nx)$$

Drücken Sie das Ergebnis durch trigonometrische Funktionen aus.

Problem/Ansatz:

$$1+cos(x)+cos(2x)+...+cos(nx)=\sum \limits_{n=0}^{n}cos(nx)$$

$$sin(x)+sin(2x)+...+sin(nx)=\sum \limits_{n=0}^{n}sin(nx)$$

Ich finde leider keine trigonometrische Funktionen die zu diesen reihen äquivalent sind,

oder verstehe ich etwas an der Aufgabe falsch ?

Comments

Vielleicht meinst du sowas wie$$\sum_{k=0}^n\cos(kx)=\frac1{\sin\left(\frac x2\right)}\cdot\sin\left(\tfrac{n+1}2x\right)\cdot\cos\left(\tfrac n2x\right)\text{ für }\tfrac x{2\pi}\notin\mathbb Z.$$

Answer 1

Ich habe mal ein wenig rumprobiert. Die Abbildung zeigt die Summe der ersten 200 Sinusfunktionen (blau) und die Funktion 0,5 cot(x/4).

Forsche mal in diese Richtung.

Vielleicht wäre es sinnvoll, die Taylorreihen der einzelnen Summanden zu addieren....

PS: Du hattest kürzliche eine Frage zu Fourier. Das geht hier vielleicht auch in diese Richtung?

Comments

Zu PS: Die Fragen sind aus zwei verschiedenen Quellen, es würde mich wunder wenn die Antwort zu dieser Frage etwas mit Fourier zu tun hätte weil es nicht zum Thema dieser Quelle passen würde.

Answer 2

Hallo,

man betrachtet eine Summe über \(\exp(ikx)= (\exp(ix))^k\), also eine geometrische Summe und verwendet dann Real- und Imaginärteil.

Gruß