Aloha :)
zu a) In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Cotangens das Verhältnis von Ankathete zu Gegenkathete. Wir stellen uns also ein rechtwinkliges Dreieck mit der Ankathete \(a=1\) und der Gegenkathete \(b=\sqrt3\) vor. Nach Pythagoras gilt dann für die Hypotenuse:$$c^2=a^2+b^2=1^2+(\sqrt3)^2=1+3=4\implies c=2$$Das Verhältnis von Ankathete \(a=1\) zu Hypotenuse \(c=2\) ist der Cosinus. Und den Cosinus von \(\frac12\) kennt man auswendig:$$\cos\alpha=\frac12\implies\alpha=60^\circ=\frac16\cdot360^\circ\equiv\frac16\cdot2\pi=\frac\pi3$$Wenn wir noch das Minuszeichen im Argument der Arcus-Cotangens-Funktion berücksichtigen, erhalten wir:$$\pink{\operatorname{arccot}\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)=-\frac\pi3}$$
zu b) Die Co-Funktionen haben ihren Namen daher, dass man im rechtwinkligen Dreieck zum complementären Winkel übergeht, das ist der andere Nicht-90-Grad-Winkel:$$\cos(x)=\sin\left(\frac\pi2-x\right)$$$$\sin(x)=\cos\left(\frac\pi2-x\right)$$$$\tan(x)=\cot\left(\frac\pi2-x\right)$$$$\cot(x)=\tan\left(\frac\pi2-x\right)$$
Damit ist die Aufgabe gelöst:$$\arctan\left(\cot(4)\right)=\arctan\left(\tan\left(\frac\pi2-4\right)\right)=\frac\pi2-4+\mathbb Z\cdot\pi$$Der Term \(\mathbb Z\cdot\pi\) kommt daher, dass die Tangens-Funktion \(\pi\)-periodisch ist. Per Definition hat man sich darauf geeinigt, dass der Rückgabewert der Arcus-Tangens-Funktion im Intervall \((-\frac\pi2;\frac\pi2)\) liegt. Daher lautet das dadurch eindeutig gewordene Ergebnis:$$\pink{\arctan(\cot(4))=\frac{3\pi}{2}-4}$$
