Du sollst für jedes \(\varepsilon>0\) ein \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\) finden, sodass für alle \(n\geq N_{\varepsilon}, n\in \mathbb{N}\) die Abschätzung \( |a_n-g|<\varepsilon\) gilt, wobei \(g\) der Grenzwert von deiner Folge \(a_n\) ist.
Vorarbeit/Schmierarbeit:
Dein \(N_{\varepsilon}\) ist also von der Wahl deines \(\varepsilon>0\) abhängig. Es empfielt sich, zunächst mit der Abschätzung zu beginnen, weil man so sehen kann, wie das \(N_{\varepsilon}\) zu wählen ist.
Es gilt also zunächst:
\(\Big| \frac{2n^2-n}{n^2+2}-2\Big|=\Big|\frac{2n^2-n-2n^2-4}{n^2+2} \Big|=\Big|\frac{4+n}{n^2+2} \Big|\leq \Big|\frac{4+n}{n^2} \Big|\leq \Big|\frac{n+n}{n^2}\Big| =\frac{2n}{n^2}=\frac{2}{n}\stackrel{!}{<} \varepsilon\).
Beim ,,!" hat man noch das Problem, wie das \(N_{\varepsilon}\) gewählt sein muss, sodass per Definition \( \frac{2}{n}< \varepsilon \) für alle \(n\geq N_{\varepsilon}\) gilt. Mit \(n\geq N_{\varepsilon}\) hat man auch \(2n\geq 2N_{\varepsilon}\) bzw. \(\frac{2}{N_{\varepsilon}}\geq \frac{2}{n}\). Betrachte jetzt \(\varepsilon >\frac{2}{N_{\varepsilon}}\geq \frac{2}{n}\). Damit das gilt, muss doch \(\frac{2}{\varepsilon}<N_{\varepsilon}\) gelten, denn dann hat man ja \(\frac{2}{n}\leq \frac{2}{N_{\varepsilon}}<\frac{2}{\frac{2}{\varepsilon}}=2\cdot \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \) Und da haben wir es! \(N_{\varepsilon}\) konnte aber auch deshalb so gewählt werden, da man nach dem Archimedischen Prinzip für jede relle Zahl \(x\) eine natürliche Zahl \(m\) finden kann mit der Eigenschaft \(x<m\).
Jetzt musst du das alles nur noch in einen hübschen Beweisverlauf schreiben:
Sei \(\varepsilon>0\) beliebig. Dann kann nach dem Archimedischem Prinzip zur reellen Zahl \(\frac{2}{\varepsilon}\) ein \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\) gefunden werden mit der Eigenschaft \(\frac{2}{\varepsilon}<N_{\varepsilon}\). Dann gilt für alle \(n\geq N_{\varepsilon}, n\in \mathbb{N}\) die Abschätzungskette:
\(\Big| \frac{2n^2-n}{n^2+2}-2\Big|=\Big|\frac{2n^2-n-2n^2-4}{n^2+2} \Big|=\Big|\frac{4+n}{n^2+2} \Big|\leq \Big|\frac{4+n}{n^2} \Big|\leq \Big|\frac{n+n}{n^2}\Big| =\frac{2n}{n^2}=\frac{2}{n}\leq \frac{2}{N_{\varepsilon}}<\frac{2}{\frac{2}{\varepsilon}}=2\cdot \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\).
Da \(\varepsilon>0\) beliebig war, folgt also \(\lim\limits_{n\to \infty} \frac{2n^2-n}{n^2+2}=2.\)
