Gleichungen mit z = reiφ lösen

Question

Aufgabe:

a, z² = −9

b, z³ = 8i

c, z² = 1 + i

Problem/Ansatz:

!

Ich soll diese Gleichungen unter Zuhilfenahme von z = re^iφ lösen.

Ich habe dazu auch die Lösungen, verstehe aber manche Schritte nicht!

a, z² = −9 = ( re^iφ )² = r²e^2iφ    

    r = \( \sqrt{ 9 } \)  = 3

    Soweit verstehe ich den Ansatz, aber da ab dann nicht mehr.

    e^2iφ = -1 = e^iπ

    => φ₁ = \( \frac{π}{2} \)  und  φ₂ = \( \frac{3π}{2} \)

    Könnte mir das bitte jemand erklären?

Answer 1

r^2*e^(2iφ)  = -9

wird aufgeteilt in r^2 = 9 und     e^(2iφ)  = -1 = -1 + i*0

Und jetzt weiß man halt wegen    e^(iφ) = cos( φ) + i* sin(φ)

dass man für 2φ einen Wert  wählen muss ,

bei dem cos(φ)=-1 und sin(φ)) =0 ist. Das ist bei 2φ=pi der Fall,

also φ=pi/2 und bei 2φ=pi +2pi also  φ=3pi/2 .

Bei  z^3 = 8i ist es ähnlich.

Hier hast du r=8 und   e^(3iφ)  = i = 0 + 1*i

Also brauchst du jetzt einen Wert für 3φ bei dem

cos = 0 und sin = 1 ist.

Das wäre zunächst 3φ = pi/2 ==>   φ= pi/6

und dann noch 2 weitere (Es gibt ja 3 mal die 3. Wurzel.)

 3φ = pi/2+2pi und  3φ = pi/2 + 4pi

also φ=5pi/6  und φ=9pi/6

Answer 2

Hallo

z=-9 liegt auf der negativen x. Achse, hat also zur positiven x- Achse den Winkel 180° bzw. π

also ist z^2=3^2*e^iπ, und deshalb z=(3^2*e^iπ)^1/2=3*ei^π/2

Gruß lul