Lösen von Gleichungen mit komplexen Zahlen: speziell: sin(z) = i*π

Question

hat jemand ein paar Tipps für mich?

Besonders macht mir die c) zu schaffen!

$$a)\quad \\ \\ { e }^{ -z }\quad +\quad 1\quad =\quad 0\quad \\ { e }^{ -x-i*y }\quad +\quad 1\quad =\quad 0\\ \\ \\ \\ Meine\quad Idee:\quad { e }^{ -x-i*y }\quad =\quad { i }^{ 2 }\quad (Falls\quad das\quad ein\quad Trick\quad wäre?)\quad =\quad -1\\ aber\quad weiter\quad umformen\quad weiß\quad ich\quad nicht...\\ \\ \\ \\ \\ b)\quad \\ \\ { e }^{ z }\quad +\quad i\quad =\quad 0\\ { e }^{ x+i*y }\quad =\quad -i\\ \\ \\ \\ \\ Ich\quad habe\quad mir\quad überlegt,\quad dass\quad man\quad das\quad ja\quad auch\quad so\quad schreiben\quad könnte:\\ \\ \\ \\ { e }^{ i*y }\quad =\quad cos(\varphi )\quad +\quad i*sin(\varphi )\quad =\quad -\quad i\\ also\quad muss\quad cos(\varphi )\quad =\quad 0\\ und\quad muss\quad sin(\varphi )\quad =\quad -1\quad sein.\quad \\ \\ \\ \\ \\ Bei\quad cos\quad muss\quad \varphi \quad also\quad ein\quad Vielfaches\quad von\quad \frac { \Pi  }{ 2 } +k*\Pi \\ und\quad bei\quad sin\quad muss\quad \varphi \quad ein\quad Vielfaches\quad von\quad \frac { 3*\Pi  }{ 2 } +k*2\Pi \quad sein.\\ \\ \\ \\ \\ \\ c)\\ \\ \\ sin(z)\quad =\quad i*\Pi \\ sin(x+i*y)\quad =\quad i*\Pi \\ \\ \\ \\ Ich\quad habe\quad umgeformt\quad und\quad kam\quad auf\quad diese\quad Idee:\\ \quad i*\Pi \quad =\quad -sin(x)*cosh(y)\quad +\quad i*cos(x)*sinh(y)\\ \\ \\ \\ Dementsprechend\quad muss\quad der\quad erste\quad Term\quad 0\quad sein\quad und\\ cos(x)*sinh(y)\quad =\quad \Pi \quad ergeben.\quad \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ Sind\quad diese\quad Überlegungen\quad zu\quad verwerfen?\\ Danke\quad für\quad eure\quad Hilfe!\\ Helenum $$

Comments

Ist das bei c) ein pi, also π ?

Warum nutzt du keine Polarkoordinaten?

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Hallo Lu,

sowohl bei b als auch bei c soll das ein π  sein! Ich hatte nur dieses eine Symbol dafür gefunden!

Habe ich mit der Umformung schon Polarkoordinaten verwendet? Oder sprichst du das auf a an?

LG

Helenum

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Bei b) hast du mich schon bei der ersten Umformung verloren.

Annahme, die würde stimmen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5Ez+%3D+-i

Ich wollte nur sichergehen, dass ich in der Überschrift nichts verkehrt gemacht habe.

EDIT: Habe in deiner ersten Zeile bei b) ein i draus gemacht. (vgl. Kommentar gleich unten)

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oh nein, wie peinlich! Du hast natürlich Recht!

Es ist e^z + i = 0

Ich habe den Überblick beim Formeleditor verloren!

Danke, dass du so aufmerksam bist und ich schaue mir gleich mal die Lösung an!

LG

Answer 1

bei a kannst du doch das z lassen und verwendest deinen

Trick und die 3. binomi.

e ^-z = i^2
e ^-z - i^2 = 0
(e ^-0,5z - i) * (e ^-0,5z + i) = 0

(e ^-0,5z - i) = 0     oder  (e ^-0,5z + i) = 0

e ^-0,5z = i   =  e ^i*pi/2     oder   ........

-0,5 z = i*pi/2            .............

z = - i*pi        ................