Lineare Abbildung: Ist diese Funktion linear?

Question

Aufgabe:

\( d) \quad f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)
\( \vec{x} \mapsto f(\vec{x})=\left(\begin{array}{c}x y \\ x+y\end{array}\right) \)

\( f \) ist nicht linear, da:

$$ f(\lambda \vec{x})=f\left(\left(\begin{array}{c} \lambda x \\ \lambda y \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} \lambda x \lambda y \\ \lambda x+\lambda y \end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{c} \lambda x y \\ x+y \end{array}\right) \neq \lambda f(\vec{x})=\lambda\left(\begin{array}{c} x y \\ x+y \end{array}\right) \text { für alle } \lambda \in \mathbb{R} \backslash\{0,1\} $$

Die Bedingung
\( (i i) \) der Definition einer linearen Abbildung ist somit nicht erfüllt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wieso delta noch in der Klammer bleibt. Habe relativ Mühe mit diesen Aufgaben, verstehe glaube ich ein Grundprinzip nicht. Kann mir das jemand erklären?

Liebe Grüsse

Comments

Kennst du die Gesetze für + und ·?

Assoziativ-, Kommutativ-, Distributivgesetz?

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Ja, aber ich verstehe nicht ganz genau, wieso f(dx) -> dxdy ergibt..

Answer 1

$$f(\begin{pmatrix} λx\\λy \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} λxλy\\λx+λy \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} λ*xλy\\λ*(x+y) \end{pmatrix}$$und jetzt die Def. der Multiplikation mit Skalaren anwenden$$=λ*\begin{pmatrix} xλy\\x+y\end{pmatrix}$$

Comments

wenn man λx hat -> wäre das doch λ * xy, wie kommt man da zu λxλy...

Ich glaube ich, mache einen sehr einfachen Überlegungsfehler und bringe alles durcheinander.

wieso schreibst du das so λxλy = λ∗xλy

und unten wäre es doch x + y und nicht x + delta.

vielen Dank

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Unten ist es x+y , da hatte ich mich vertippt. Das korrigiere ich gleich.

Aber λxλy = λ∗x*λ*y und das hatte ich so geschrieben  λ∗xλy

um deutlich zu machen, dass es das Gleiche ist, als wenn

man λ  mit  xλy multipliziert und genau das muss man ja

rechnen, wenn man λ  mit dem Vektor multipliziert.

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Wieso ergibt λ * x = λxλy

Wir haben ja als x = (xy) und λ mal x -> λxy

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Es ist doch die Vorschrift

f( x;y) =  ( x*y ; x+y )

Wenn du jetzt

f( λx,λy ) bilden willst, hast du statt x eben  λx und statt y dann  λy

also ist das Produkt λx*λy

Answer 2

Hallo Longstudy,

Habe relativ Mühe mit diesen Aufgaben, verstehe glaube ich ein Grundprinzip nicht.

Ja - ich glaub das ist das Problem. Ich fange mal ganz klein an. Betrachte die Funktion $$f(\colorbox{#ffff00}x)= 2\cdot \colorbox{#ffff00}x+3$$Das was hinter dem ersten \(f\) zwischen den Klammern steht (in gelb) ist das Argument der Funktion. Und das \(x\) ist nur ein Platzhalter. Genauso könnte man schreiben$$f(\odot)= 2\cdot \odot +3$$Man kann alles mögliche da hin schreiben und sich danach erst Gedanken machen, ob es Sinn macht. Sinn macht z.B.: $$f(\colorbox{#ffff00}{5})= 2 \cdot \colorbox{#ffff00}{5}+3 = 13$$das ist nicht schwer - oder. Aber jetzt kommt's - was ist $$f(\lambda \cdot 5)=\, ?$$

[spoiler]

$$f(\lambda \cdot 5)= 2 \cdot \lambda \cdot 5 + 3 = 10 \lambda + 3$$ und warum nicht$$f(\lambda \cdot 5) \stackrel{?}{=} 2 \cdot \lambda \cdot 5 + 3 \cdot \lambda $$das hattest Du hier vorgeschlagen !?

[/spoiler]

und das gleiche gilt für Funktionen mit zwei Argumenten:$$f(\colorbox{#ffff00}{x}, \colorbox{#aaffaa}{y}) = \colorbox{#ffff00}{x} \cdot \colorbox{#aaffaa}{y}$$was ist denn nun \(f(\lambda x, \lambda y)\) ?

Wobei es auch egal ist, ob die Argumente \(x\) und \(y\) neben- oder übereinander stehen$$\begin{aligned} f(\vec x) &= f \left(\begin{pmatrix} \colorbox{#ffff00}{x}\\ \colorbox{#aaffaa}{y} \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} \colorbox{#ffff00}{x} \cdot \colorbox{#aaffaa}{y}\\ \colorbox{#ffff00}{x} + \colorbox{#aaffaa}{y} \end{pmatrix} \\ f(\lambda \cdot\vec{x}) &=f\left(\left(\begin{array}{c} {\lambda \cdot x} \\ {\lambda \cdot y} \end{array}\right)\right) =\left(\begin{array}{c} {\lambda \cdot x} \cdot {\lambda \cdot y} \\ {\lambda x}+ {\lambda \cdot y} \end{array}\right) \\&=\left(\begin{array}{c} \lambda^2xy \\ \lambda(x+y) \end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{c} \lambda x y \\ x+ y \end{array}\right)\end{aligned}$$