Komplexe zahl in Polarform darstellen

Question

Aufgabe:

Komplexe zahl in Polarform darstellen

es geht um

\(z = \sqrt{-i\pi }\)

Problem/Ansatz:

laut wolfram ist das folgende die kartesische Form.

\(\sqrt{\frac{\pi }{2}}-i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\)

aber wie soll ich das in die karthesische form bekommen? oder kann ich das auch anders rausbekommen?

der rest ist einfach.

ich muss erstmal |z| rechnen mit re und im teil, ohne i.

dann φ ausrechnen mit arctan(b/a), was in diesem Fall ausnahmsweise leicht ist. da arctan(-1)=-π/4, -1 aus \(-sqrt{\frac{\pi }{2}}/sqrt{\frac{\pi }{2}}\)

Das Ergebnis in |z|e^(iφ) und es folgt

\(z = \sqrt{\pi}e^{-\frac{\pi }{4}i }\)

Das Problem ist wie oben schon geschrieben in die re und im teile aufzuteilen. anders kann ich und re und im nicht rauslesen...

mfg

Answer 1

Aloha :)

$$z=\sqrt{-i\pi}=\sqrt{-i}\cdot\sqrt\pi=\sqrt{\cos\frac{\pi}{2}-i\sin\frac{\pi}{2}}\cdot\sqrt\pi=\sqrt{e^{-i\pi/2}}\cdot\sqrt\pi$$$$\phantom{z}=\pm e^{-i\pi/4}\cdot\sqrt\pi=\pm\left(\cos\frac{\pi}{4}-i\sin\frac{\pi}{4}\right)\sqrt\pi=\pm\left(\frac{1}{\sqrt2}-\frac{i}{\sqrt2}\right)\sqrt\pi$$$$\phantom{z}=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(1-i\right)$$

Comments

ok ich verstehe.

es gibt also keinen richtigen Rechenweg im normalen sinne.

ich muss wurzel(-i) auswendig können und ersetzen?

und bei kompl. zahlen halbiert die wurzel wohl den winkel.

danke

mfg

Answer 2

z=√(−iπ) = √π * √(-i)

arg(-i) = 270° also hat die Wurzel einen Winkel von 135°

und ist damit cos(135°) + i*sin(135°) = -√2 / 2 + i * √2 / 2

also z =  √π * ( -√2 / 2 + i * √2 / 2 ) =  -√(2π) / 2 + i * √(2π) / 2

 =  -√(2π) / √4  + i * √(2π) / √4

=  -√(2π) / 4)  + i * √(2π / 4)

=  -√(π) / 2)  + i * √(π / 2)  .

Und ausgehend von 630° bekommst du die zweite Lösung

mit dem Winkel von 315°  da sind cos und sin  dann

√2 / 2 und -√2 / 2.

Comments

vielen dank :D