Approximative Lösung für Gleichung x3+3x=10

Question

Gesucht ist eine approximative Lösung $x \in \mathbb{R}$ der Gleichung $x^{3}+3 x=10$. Betrachten Sie dazu die Funktion $f(x):=x^{3}+3 x \quad 10$.

a) Zeigen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass die Funktion $f$ mindestens eine Nullstelle im Intervall $I_{1}:=[1,2]$ hat.

b) Wir möchten schrittweise die Lage der Nullstelle weiter eingrenzen, indem wir die Intervalle halbieren und jeweils die Hälfte des Intervalles auswählen, in dem sich die Nullstelle befindet (vgl. Anwesenheitsaufgabe 1). Gehen Sie dazu wie folgt vor:

(i) Berechnen Sie $f\left(\frac{3}{2}\right)$.

(ii) Entscheiden Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, ob die Nullstelle in $\left[1, \frac{3}{2}\right]$ oder in $\left[\frac{3}{2}, 2\right]$ liegt.

(iii) Definieren Sie das Intervall, für das Sie sich in (ii) entschieden haben als neues Intervall $I_{2}$.

(iv) Halbieren Sie nun $I_{2}$ und wiederholen Sie entsprechend die Schritte (i)-(iii), um $I_{3}$ und anschließend $I_{4}$ zu berechnen.

Answer 1

Hi,

a) f(1) = -6

f(2) = 4

Da f(x) stetig ist, muss dazwischen mindestens einen Nullstelle liegen.

 

b)

(i) f(3/2) = -2,125

(ii) Da f(2)>0 und f(3/2)<0, muss die Nullstellen in diesem Intervall liegen

(iv) f(7/4) = 0,609375

Die Nullstelle liegt also zwischen x = 3/2 = 1,5 und x = 7/4 = 1,75

 

Das mache so weiter.

Zur Kontrolle: Mit Newton kommt man auf x ≈ 1,6989

 

Grüße