Wie muss man hier partiell Ableiten

Question

Hallo,

Kann mir jemand dabei helfen, folgende Gleichung partiell Abzuleiten:

Φ (r;h)=pi*r²+2*pi*r*h+2*pi*r²+lambda*(pi*r²*h+(2/3)pi*r³-0,5)


Ich möchte partiell nach r, nach h und nach λ ableiten, dann diese drei Ableitungen auf Null setzen und so ein Gleichungssystem erstellen, mit dem man r und h berechnen kann.

Habe aber Probleme damit hier partiell Abzuleiten...

Answer 1

Φ (r;h)=pi*r²+2*pi*r*h+2*pi*r²+lambda*(pi*r²*h+(2/3)pi*r³-0,5)

Das ist eine Summe aus den Summanden

• πr²,
• 2πrh,
• λ(πr²h+(2/3)πr³-0,5).

Summen werden mit der Summenregel abgeleitet. Laut Summenregel musst du jeden einzelnen Summanden ableiten und dann die Ableitungen addieren.

Nach r ableiten

• Ableitung von πr² ist 2πr,
• Ableitung von 2πrh ist 2πh,
• λ(πr²h+(2/3)πr³-0,5) ist ein Produkt aus einem konstanten Faktor λ und dem Faktor (πr²h+(2/3)πr³-0,5). Solch ein Produkt darfst du mit der Faktorregel ableiten. Die Faktorregel besagt, dass der konstante Faktor mit der Ableitung des anderen Faktors multipliziert wird. Leite also (πr²h+(2/3)πr³-0,5) nach r ab und multipliziere das Ergebnis mit λ.

Addiere dann die drei Ableitungen.

Nach h ableiten

• Ableitung von πr² ist 0,
• Ableitung von 2πrh ist 2πr,
• λ(πr²h+(2/3)πr³-0,5) ist ein Produkt aus einem konstanten Faktor λ und dem Faktor (πr²h+(2/3)πr³-0,5). Solch ein Produkt darfst du mit der Faktorregel ableiten. Die Faktorregel besagt, dass der konstante Faktor mit der Ableitung des anderen Faktors multipliziert wird. Leite also (πr²h+(2/3)πr³-0,5) nach h ab und multipliziere das Ergebnis mit λ.
  

Addiere dann die drei Ableitungen.

Nach λ ableiten

• Ableitung von πr² ist 0,
• Ableitung von 2πrh ist 0,
• λ(πr²h+(2/3)πr³-0,5) ist ein Produkt aus einem konstanten Faktor (πr²h+(2/3)πr³-0,5) und dem Faktor λ . Solch ein Produkt darfst du mit der Faktorregel ableiten. Die Faktorregel besagt, dass der konstante Faktor mit der Ableitung des anderen Faktors multipliziert wird. Leite also λ nach λ ab und multipliziere das Ergebnis mit (πr²h+(2/3)πr³-0,5).
  

Addiere dann die drei Ableitungen.

Answer 2

Ganz unten:Achtung bei r=... fehlt das pi -> somit auch bei der Höhe h!!!

Text erkannt:

Kontrolle mit Lösung ohne Lagrange:
\( " \Phi(r ; h)=\pi \cdot r^{2}+2 \cdot \pi \cdot r \cdot h+2 \cdot \pi \cdot r^{2}+\lambda \cdot\left(\pi \cdot r^{2} * h+\left(\frac{2}{3}\right) \pi \cdot r^{3}-0,5\right) \)
\( \Phi(r, h)=3 \pi r^{2}+2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \)
\( \pi \cdot r^{2} \cdot h+\left(\frac{2}{3}\right) \pi \cdot r^{3}=0,5 \)
\( \pi \cdot r^{2} \cdot h=0,5-\left(\frac{2}{3}\right) \pi \cdot r \)
\( h=\frac{0,5-\left(\frac{2}{3}\right) \pi \cdot r}{\pi \cdot r^{2}} \)
\( \Phi(r)=3 \pi r^{2}+2 \cdot \pi \cdot r \cdot \frac{0,5-\left(\frac{2}{3}\right) \pi \cdot r}{\pi \cdot r^{2}}=3 \pi r^{2}+2 \cdot \frac{0,5-\left(\frac{2}{3}\right) \pi \cdot r}{r}= \)
\( =\frac{3 \pi r^{3}+1-\frac{4}{3} \pi \cdot r}{r} \)
\( \frac{d \Phi(r)}{d r}=\frac{\left(9 \pi r^{2}-\frac{4}{3} \pi\right) \cdot r-\left(3 \pi r^{3}+1-\frac{4}{3} \pi \cdot r\right)}{r^{2}}=\frac{\left(9 \pi r^{3}-\frac{4}{3} \pi \cdot r-3 \pi r^{3}-1+\frac{4}{3} \pi \cdot r\right.}{r^{2}} \)
\( =\frac{6 \pi r^{3}-1}{r^{2}} \)
\( \frac{6 \pi r^{3}-1}{r^{2}}=0 \)
\( r=\sqrt[3]{\frac{1}{6}}=\left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 0,55 \)
\( h=\frac{0,5-\left(\frac{2}{3}\right) \pi \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{6}}}{\pi \cdot\left(\sqrt[3]{\frac{1}{6}}\right)^{2}} \) mfG Moliets