der Summe einer Reihe

Question

wie berechnet man die Summe dieser Reihe

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(2^{n}+3)*x^{n}} \)

Comments

Die Summe ist ein Polynom mit unendlich vielen Summanden. Schon \( \sum\limits_{n=0}^{2}{(2^n+3)x^n} \) =7x²+5x+4.

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sorry, ich verstehe einfach nicht wie Sie auf diese Gleichung kommen .

und warum gilt das von 0 bis 2 ?

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(2⁰+3)x⁰=4

(2¹+3)x¹=5x

(2²+3)x²=7x²

addiert: 7x²+5x+4

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OK ,vielen Dank für Ihren Beitrag

Answer 1

Hallo,

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(2^{n}+3)*x^{n}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(2x)^{n}}+3\sum\limits_{n=0}^{\infty}{x^{n}}$$

und das sind zwei geometrische Reihen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Konvergenz_und_Wert_der_geometrischen_Reihe

Comments

Danke für Ihren Antwort .

meinen Sie damit dass das Ergebnis hängt vom x  Wert ,

oder diese beide Reihen sind Divergent und es ergibt sich +∞ ?

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Für eine konvergente Reihe (mit einem endlichen Summenwert) müssten beide Teilreihen separat konvergent sein. Da es sich um einfache geometrische Reihen handelt, ist hier auch leicht abzusehen, für welche Werte von x dies der Fall ist:

| 2·x | < 1   oder also   |x| < ¹/₂

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soll das heißen dass die Reihen Kovergent (geom.Reihe) im Intervall

von [0, 0.5[ und von [0.5 , ∞[  ist die Reihe Divergent

am Allgemein ist also die Summe unendlich

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Genau das, was ich gesagt habe:

Genau für alle x - Werte mit  |x| < ¹/₂   ( also  - ¹/₂ < x < ¹/₂ )  ist die Reihe konvergent und hat den Summenwert

S_∞ = ¹/_(1-2x) + ³/_(1-x)

Für alle anderen x-Werte ist die Reihe divergent.

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ok verstanden

vielen Dank für Ihre hilfe