Bestimmen Sie die Summe der Reihe n^2/3^n

Question

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Bestimmen Sie die Summe der Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}} \)

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Bestimmen Sie die Summe der Reihe \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}} \)

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Bekanntlich gilt für \(-1<x<1\) die geometrische Reihe$$\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n.$$Ableiten liefert$$\frac1{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}$$Multipliziere mit \(x\):$$\frac x{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^\infty nx^n.$$Erneutes Ableiten liefert$$\frac{1+x}{(1-x)^3}=\sum_{n=1}^\infty n^2x^{n-1}.$$Multipliziere wieder mit \(x\):$$\frac{x+x^2}{(1-x)^3}=\sum_{n=1}^\infty n^2x^n.$$Setze nun \(x=\tfrac13\).