Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal den Umkreis eines Rechtecks ABCD mit Seitenlänge A

Question

3. Konstruieren im Mathematikunterricht
a) Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal den Umkreis eines Rechtecks ABCD mit Seitenlänge A B =4 cm das eine vorgegebene Strecke AC = 7 cm als Diagonale besitzt. Geben Sie eine Konstruktionsbeschreibung an. Hinweis: Sie dürfen die Konstruktion des Mittelpunktes einer Strecke als bekannte Grundkonstruktion annehmen.

Na ihr süßen. Könnt ihr mal über meine Aufgabe drüber schauen, ob die Konstruktion so richtig ist?

Konstruktionsbeschreibung:

1. Wähle einen Punkt M und ziehe einen kreis k(M,3,5cm)

2. Zeichne den Durchmesser des Kreises k und der Durchmesser ist die Diagonalde der Strecke AC.
3. Ziehe einen Kreis z(A,4cm).
4. Der Schnittpunkt beider Kreise nennen wir B, sodas AB=4cm und zeichne die strecke BC.

5. Ziehe einen weiteren kreis l sodass, l(C,4cm).

6. Der schnittpunkt beider Kreise nennen wir D, sodass CD=4cm und zeichne die Strecke DA.

Answer 1

Hallo schnuckimucki,

.. aus der Wikipedia:

"In der euklidischen Geometrie versteht man unter einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal die Entwicklung der exakten zeichnerischen Darstellung einer Figur auf der Grundlage vorgegebener Größen, wobei in der Regel nur Zirkel und Lineal verwendet werden dürfen. Das Lineal hat keine Markierungen; man kann damit also nur Geraden zeichnen, aber keine Strecken abmessen."

Bei dieser Aufgabe sind zwei Strecken vorgegeben. Die Seite AB und die Diagonale AC. Dass da ein Wert in der Aufgabestellung steht, mit Centimetern dahinter, ist lediglich eine Bequemlichkeit der Aufgabensteller. Gegeben ist genau genommen ...

.. das hier. Mehr nicht!

Wähle einen Punkt M und ziehe einen kreis k(M,3,5cm)

Das geht nicht, da nirgendwo eine Strecke dieser Länge mit dem Zirkel abgegriffen werden kann. Die 3,5cm müssen erst durch Halbierung der Strecke $AC$ konstruiert werden.

1. Zeichne die Strecke AC mit 7cm.

Besser: Zeichne eine Gerade, markiere einen Punkt $A$ darauf und trage mit dem Zirkel die Strecke $AC$ ab.

2. Ziehe um den Mittelpunkt M  ...

$M$ existiert doch noch gar nicht.

Also: 2. Konstruiere den Mittelpunkt $M$ der Strecke $AC$.

.. der Strecke einen Kreis k(M,4cm)

Du meinst 3,5cm. Ist aber auch falsch, da die 3,5cm nicht vom Himmel fallen.

Besser: 3. Schlage um $M$ einen Kreis mit dem Radius $MA$ (oder $MC$)

Wichtig: Du kannst nur Dinge, Größen und Sätze benutzen, die Du schon hast. Das ist ein grundsätzliches Prinzip in der Mathematik und gilt für alle Bereiche auch außerhalb der Geometrie!

5. Ziehe einen weiteren kreis l sodass, l(C,4cm).

das ist zwar nicht falsch, aber im Nachgang mehrdeutig, wie man hier sieht:

Nach der Konstruktion von $B$ ist es besser (und einfacher), eine Gerade (rot) durch $M$ und $B$ zu zeichen, die den Kreis um $M$ außer in $B$ noch in $D$ schneidet.

Comments

Danke für die ausführliche erklärung.

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Ich habe noch eine frage.

Meine Konstruktionsbeschreibung sieht jetzt so aus.

1. Zeichne eine Gerade, markiere einen Punkt A darauf und trage mit dem Zirkel die Strecke AC ab.

2. Konstruiere den Mittelpunkt m der Strecke AC. (ich dachte, wenn die Strecke AC mit 7 cm gegeben ist, kann man davon ausgeehen, dass der Mittelpunkt 3,5 cm ist. Wenn dem nich so ist, bin ich jetzt schlauer.)

3. Ziehe um Meinen Kreis mit dem Radius MA oder MC.

Jetzt bin ich hier hengen geblieben, da ich unsicher bin, wie ich den Punkt B konstruiere.

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ich dachte, wenn die Strecke AC mit 7 cm gegeben ist, kann man davon ausgeehen, dass der Mittelpunkt 3,5 cm ist.

OK - wir beide wissen, dass die Hälfte von 7 gleich 3,5 ist. Das ist nicht der Punkt.

Es geht darum, zu lernen, wie Du mit den Mitteln Zirkel und Lineal zu einer Lösung kommst. Wobei nur erlaubt ist, mit dem Zirkel eine Strecke (von zwei Punkten!) abzumessen und mit diesem Radius um einen Punkt einen Kreis zu schlagen. Und mit dem Lineal darf man nur Geraden durch zwei gegebenen Punkte zeichnen. Punkte ergeben sich ausschließlich durch Schnittpunkte von Kreisen und/oder Geraden.

Dein "Lineal" hat keine Maßstriche - es gibt in der Euklidische Geometrie keine Centimeter! Also kannst Du auch nie einen Kreis mit $x \, \text{cm}$ zeichnen, sondern nur einen Kreis mit dem Radius einer bereits vorhandenen Strecke (eigentlich ein Punktepaar)

3. Ziehe um Meinen Kreis mit dem Radius MA oder MC.

3. Ziehe um den Punkt $M$ einen Kreis mit Radius $MA$

... das 'oder MC' war eine Bemerkung meinerseits. Natürlich ist $MA=MC$, sonst wäre $M$ nicht $M$.

Jetzt bin ich hier hängen geblieben, da ich unsicher bin, wie ich den Punkt B konstruiere.

So wie Du schon begonnen hast. Da der Kreis um $A$, den Kreis um $M$ zweimal schneidet, ist es sinnvoll, sich auf einen Schnittpunkt fest zu legen. Beispiel:

4. Schlage eine Kreis mit dem Radius $AB$ um $A$. Dieser Kreis hat zwei Schnittpunkte mit dem Kreis um $M$. Wähle den Schnittpunkt als Punkt $B$, so dass der Umlaufsinn des Dreiecks $\triangle ABC$ positiv ist.

Bem.: statt 'der Kreis um $M$' oder ein anderer Mittelpunkt zu schreiben, kannst Du die Kreise auch benennen. Ob mit $k_1$, $k_2$ usw. oder $k$, $l$ und $m$ bleibt Dir überlassen. Wichtig: Sei hier exakt; auch was Groß- und Kleinschreibung betrifft.

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Kann ich dann als 5. Schreiben:

5. Schlage eine Kreis mit dem Radius AB um C. Dieser Kreis hat zwei Schnittpunkte mit dem Kreis um M. Wähle den Schnittpunkt als Punkt D, so dass der Umlaufsinn des Dreiecks △ACD positiv ist.

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... das kannst Du auch schreiben. Empfehlen würde ich aber trotzdem, eine Gerade durch $B$ und $M$ zu ziehen. Es ist eindeutig und nicht von einer eventuellen Änderung im Punkt 4.) abhängig.

IMHO ist es auch genauer.

Answer 2

das eine vorgegebene Strecke AC = 7 cm als Diagonale besitzt.

Die Diagonale ist vorgegeben. Zeichne also zunächst eine Strecke der Länge 7 cm mit Endpunkten A und C ein.

Nachdem du die Strecke gezeichnet hast beginnt erst deine Konstruktion.

Comments

Ok. Also das heißt erst die Strecke AC, der Kreis.

Ist es so besser?

1. Zeichne die Strecke AC mit 7cm.

2. Ziehe um den Mittelpunkt M der Strecke einen Kreis k(M,4cm)

3. Ziehe einen Kreis z(A,4cm).
4. Der Schnittpunkt beider Kreise nennen wir B, sodas AB=4cm und zeichne die strecke BC.

5. Ziehe einen weiteren kreis l sodass, l(C,4cm).

6. Der schnittpunkt beider Kreise nennen wir D, sodass CD=4cm und zeichne die Strecke DA.

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1. Zeichne die Strecke AC mit 7cm.

Das gehört nicht zur Konstruktion. Die Strecke AC ist vor Beginn der Konstruktion schon da.

2. Ziehe um den Mittelpunkt M ...

Der Mittelpunkt M ist vor der Konstruktion noch nicht da. Denn musst du zunächst konstruieren.

... einen Kreis k(M,4cm)

Ich vermute du meinst 3,5cm. Besser: Ziehe einen Kreis um M durch A.

3. Ziehe einen Kreis z(A,4cm).

Schau noch mal nach, welche Handlungen du im Rahmen einer Konstruktion durchführen darfst. Im schlimmsten Fall ist das

• Eine Gerade durch zwei Punkte ziehen
• Einen Kreis um einen Punkt durch einen anderen Punkt ziehen
• Schnittpunkte markieren
  

Insbesondere gehört

• Einen Kreis um einen Punkt mit einem gegebenen Radius ziehen

nicht dazu. Du müsstest also eventuell aus der 7cm-Strecke mittels Strahlensätzen eine 4cm-Strecke von A aus konstruieren.