Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen eine stetige Fortsetzung in 0 besitzen

Question

(a) Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen eine stetige Fortsetzung in 0 besitzen:
(i) \( f:(-\sqrt{2}, 0) \cup(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x):=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{(\sqrt{2}+x)^{2}}-\frac{1}{2}\right) \)
(ii) \( f: \mathbb{C} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x+i y):=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Comments

Bei (ii) betrachte z.B. \(f(x+\mathrm ix)\)  sowie  \(f(x-\mathrm ix)\).

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Ich verstehe nicht, was du meinst, kannst du das näher erläutern?

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Wähle \(x_n=\frac1n\) und \(y_n=\frac1n\). Dann sind \(x_n+\mathrm iy_n\) und \(x_n-\mathrm iy_n\) Nullfolgen. Es ist \(f(x_n+\mathrm iy_n)=\frac12\) und \(f(x_n-\mathrm iy_n)=-\frac12\) für alle \(n\). Die Grenzwerte für \(n\to\infty\) existieren, sind aber nicht gleich. Daher ist eine stetige Fortsetzung nicht möglich.

Answer 1

(i)

An der Stelle x=0 stimmen rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert der Funktionswerte für x→0 überein, Es liegt also eine hebbare Definitionslücke vor.