Aufgabe:
Bestimmen Sie für z = -1 + \( \frac{i}{\sqrt{3}} \) die kleinste natürliche Zahl n, für die \( z^{n} \) € ℝ gilt.
Problem/Ansatz:
\( z^{n} \) € ℝ gilt, wenn der Imaginärteil = 0 ist denke ich.
|z| = \( \sqrt{1^2 +(\frac{1}{\sqrt{3}})^2} \) = \( \frac{2*\sqrt{3}}{3} \)
Winkel α ist somit \( \frac{5π}{6} \)
So jetzt suche ich im Prinzip wann Sinus und somit der Imagniärteil = 0 wird.
Sinus wird 0 bei π, 2π, 3π, ....
⇒ Ich sehe, dass \( \frac{5}{6} \) * 6 = 5 und somit die kleinste natürliche Zahl n = 6 ist, denn
sin(\( \frac{5π}{6} \) * 6) = 0
\( z^{6} \) = (\( \frac{2*\sqrt{3}}{3} \))^6 * (cos(5π) + i * sin(5π)) = -27... + 0i
Jetzt soll ich noch z,...\( z^{n} \) in der komplexen Ebene einzeichen, das würde ich einfach mit der Moivre'sche Gleichung ausrechnen, sollten dann 6 Punkte sein.
Ist das richtig so?
