Alle Paare reeller Zahlen (c,d), dass für alle x gilt: a cos(x)+b sin(x)= c sin(x+d)

Question

Aufgabe:

$$\text{ Zu gegebenen reellen Zahlen a und b mit Eigenschaft }a^{2}+b^{2}\neq0$$

$$\text{ bestimme man alle Paare reeller Zahlen (c,d) derart, dass für alle x gilt:}$$

$$\text{ a cos(x)+b sin(x)= c sin(x+d) } $$

Problem:

Für generelle Tipps zum lösen der Aufgabe wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

c ist der Maximalwert, den c sin(x+d) annehmen kann. Ermittle mit Hilfe der ersten Ableitung (von der linken Seite) die lokalen Extrema, dann hast du c.

Nullstellen einer Sinusfunktion liegen genau in der Mitte zwischen Maximum- und Minimumstelle, damit bekommst du d.

Answer 2

Hallo

anderer Weg:

√(a^2+b^2)*(a/√(a^2+b^2)cos(x)+b/√(a^2+b^2) sin(x)=c*sin(x+c)

mit a/√(a^2+b^2)=sin(d), b/√(a^2+b^2)=cos(d) und dem Additionstheorem hat man √(a^2+b^2)(sin(d)cos(x)+cos(d)sin(x))=√(a^2+b^2)*sin(x+d) daraus c und d direkt abzulesen

Gruß lul

Answer 3

Hallo,

wende auf sin(x+d) das Additionstheorem an und führe einen Koeffizeintenvergleich für alle Sinus und Cosinusterme durch, Ergebnis:

$$c=√(a^2+b^2), d=arctan(a/b)$$