Alle Paare (x, y) reeller Zahlen, die das Gleichungssystem erfüllen: x²+ay = a und x+a²y² = a

Question

2 Gleichungen, 2 Unbekannte

Gesucht sind alle Paare (x, y) reeller Zahlen, die das folgende Gleichungssystem erfüllen:

x² + ay = a

x + a²y² = a

Man bestimme für jede beliebige reelle Zahl a die Anzahl der verschiedenen Lösungspaare und gebe diese an.

Ein Ansatz würde mir auch schon helfen.

Mit den Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren komme ich leider nicht weiter.

Answer 1

Ein Ansatz wäre:

(1) x^{2} + ay = a
(2) x + a^{2} y^{2} = a

(3) x^{2} + ay = a
(4) x + (ay)^{2} = a

(5) ay = a - x^{2}
(6) x = a - (ay)^{2}

(7) ay = a - (a - (ay)^{2})^{2}
(8) x = a - (a - x^{2})^{2}

Answer 2

x²+ ay = a  Dann ist y=1-x²/a.
Dies eingsetzt in
x+a² y² =a führt zu x⁴-2ax²+x+a²-a=0.

Mit CAS-Hilfe sind die Lösungen

x_1/2=(1±√(4a-3))/2 und x_3/4=(-2±√(4a+1))/2

Dazu die y-Werte überlasse ich dir.

Comments

Statt \(-2\) müsste es \(-1\) heißen und der Fall \(a=0\) muss gesondert betrachtet werden. Ansonsten habe ich das auch. Doch wie geht das ohne CAS?

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Du hast recht: Statt −2 müsste es −1 heißen.

Wie man Gleichungen der Form x⁴-bx²+x+c=0 von Hand löst, weiß ich nicht.

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0 = x⁴ - 2ax² + x + a² - a
0 = (x² - a)² + (x - a)
0 =  [(x² - a)² - x²] + (x² + x - a)
0 = (x² - a - x)·(x² - a + x) + (x² + x - a).
Nun den letzten Summanden ausklammern.

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Alternative:

Gleichung der Form \(u^4+\alpha u^2+\beta u+\gamma=0\). Lösungsverfahren durch folgende  Rechenschritte:$$\left. \begin{array} { l } { P = - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 12 } - \gamma } \\ { Q = - \frac { \alpha ^ { 3 } } { 108 } + \frac { \alpha \gamma } { 3 } - \frac { \beta ^ { 2 } } { 8 } } \\ { y = - \frac { 5 } { 6 } \alpha + \left\{ \begin{array} { l l } { - \sqrt [ 3 ] { Q } } & { \text { falls } P = 0 } \\ { U - \frac { P } { 3 U } } & { \text { falls } P \neq 0 } \end{array} \right. } \end{array} \right.$$$$\left. \begin{array} { c } { \text { mit } U = \sqrt [ 3 ] { - \frac { Q } { 2 } + \sqrt { \frac { Q ^ { 2 } } { 4 } + \frac { P ^ { 3 } } { 27 } } } } \\ { w = \sqrt { \alpha + 2 y } \text { und } z = \frac { \beta } { 2 w } } \end{array} \right.$$ Nun können die Nullstellen wie folgt berechnet werden:$$u _ { 1,2,3,4 } = \frac { 1 } { 2 } [ s \cdot w + r \sqrt { w ^ { 2 } - 4 ( \alpha + y + s z ) } ]$$

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Ups, außerdem geben die Parameter \(r,s∈\{-1,1\}\) das in den zwei Quadratwurzeln zu wählende Vorzeichen an.