Projektion von v auf V1 entlang V2

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n < ∞, und seien V1, V2 Unterräume mit V1 ∩ V2 = {0} und V1+V2=V.

a)  Zeigen Sie, dass jedes v∈V sich auf eindeutige Weise als v = v1+v2 mit v1∈V1 und v2 ∈ V2 schreiben lässt. Man bezeichnet daher P(v) := v1 als Projektion von v auf V1 entlang V2.

b)  Zeigen Sie, dass P2=P

Answer 1

Zeigen Sie, dass jedes v∈V sich auf eindeutige Weise als v = v1+v2 mit v1∈V1 und v2 ∈ V2 schreiben lässt.

Sei v∈V. Wegen V1+V2=V gibt es v1∈V1 und v2∈V2 mit v = v1+v2.

Angenommen es gäbe eine weitere solche Darstellung v = v1'+v2'

==>    v1+v2= v1'+v2'
 ==>   v1-v1' = v2' - v2

und beides wäre sowohl in V1 (als Differenz zweier Elemente von V1)

als auch in V2  (dito) .

Wegen V1 ∩ V2 = {0} also v1-v1' = v2' - v2 = 0

==>  v1=v1'     und   v2' = v2. Also ist die Darstellung eindeutig.

2) Sei v∈V. Und  v = v1+v2 die Darstellung von oben.

==>   P(v)=v1

==>  P(P(v)) = P(v1) = v1 , weil v1∈V1, also v1=v1+0 die eindeutige

Darstellung gemäß 1). Also P(P(v))  = v1 = P(v) .  q.e.d.

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