Es seien x ,y > 0 beliebig. Beweisen Sie, dass

Question

Es seien \( x, y>0 \) belicbig. Beweisen Sic, dass
$$ \frac{1}{x}+\frac{4}{y} \geq \frac{9}{x+y} $$

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Es seien x, y > 0 beliebig. Beweisen Sie, dass 1/x + 4/y ≥ 9/x+y

Stichworte: mengenlehre

Es seien x, y > 0 beliebig. Beweisen Sie, dass

\( \frac{1}{x} \) + \( \frac{4}{y} \)  ≥ \( \frac{9}{x+y} \)

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@cheapmontag: Bitte Duplikate vermeiden helfen. Siche benutzen. Fragen von Schmuckimucki durchgehen etc. Danke

Answer 1

Hast du zur Beweisfindung mal probiert, die gesamte Ungleichung mit x*y*(x+y) zu multiplizieren?

Answer 2

$$\frac{1}{x}+\frac{4}{y} \geq \frac{9}{x+y}$$

$$ y+4x \geq \frac{9xy}{x+y} $$

$$ (y+4x)(x+y)\geq9xy$$

$$ xy + y^2+ 4x^2 +4xy\geq9xy$$

$$ 4x^2+y^2-4xy\geq0$$

$$ (2x)^2-2\cdot2x\cdot y +y^2\geq0$$

$$ (\ldots)^2\geq0$$

:-)