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Aufgabe:

Der Graph einer Polynomfunktion 4. Grades ist symmetrisch bezüglich der y-Achse und hat im Punkt \( (2 / 0) \) eine Wendetangente mit der Steigung \( m=-8 \) Wie lautet inre Funktionsgleichung?


Problem/Ansatz:

Es wäre wirklcih extrem nett, wenn mir jemand hierbei helfen könnte.

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Hallo,

Der Graph einer Polynomfunktion 4. Grades ist symmetrisch bezüglich der y-Achse

Das bedeutet, der Funktionsterm hat nur x mit geraden Exponenten:

$$f(x)=ax^4+bx^2+c\\ f'(x)=4ax^3+2bx\\f''(x)= 12ax^2+2b$$

Für die drei Unbekannten brauchst du drei Gleichungen, die sich aus dieser Information ergeben:

Punkt (2/0) eine Wendetangente mit der Steigung m=−8

Punkt in (2|0) ⇒ f(0) = 2

Wie du das in die allgemeine Form der Gleichung einsetzt, kannst du anklicken, falls du das noch nicht gemacht. Andernfalls versuche es zunächst einmal selbst.

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$$a\cdot 2^4+b\cdot 2^2+c=0\\[15pt] \text{1. Gleichung:}\\16a+4b+c=0$$

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Der Punkt ist ein Wendepunkt, also f''(2) = 0

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$$\text{2. Gleichung:}\\48a+2b=0$$

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Die Tangente hat die Steigung -8, also ist die Ableitung an dem Punkt -8

f'(2) = -8

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$$\text{3.Gleichung:}\\32a+4b=-8$$

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Nun musst du nur noch das Gleichungssystem lösen, um a, b und c zu ermitteln.

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Multipliziere z.B. die 2. Gleichung mit -2 und addiere sie zur 3. Gleichung. Du erhältst: $$ \quad a = \frac{1}{8} $$ In die 2. Gleichung einsetzen und nach b auflösen: b = -3. In die 1. Gleichung einsetzen: $$ c = 10 \\ f(x)=\frac{1}{8}x^4-3x^2+10$$

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Melde dich bitte, wenn noch etwas unklar ist.

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k
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Ansatz (wegen Symmerie): f(x)=ax4+bx2+c

                                          f '(x)=4ax3+2bx

                                          f''(x)=12ax2+2b

f(2)=0         (1) 0=16a+4b+c

f '(2)=-8      (2) -8=32a+4b

f ''(2)=0       (3) 0=48a+2b

Löse das System von drei Gleichungen mit den Unbekannte a, b und c. Setze a, b und c in den Ansatz ein.

Avatar von 123 k 🚀
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Durch die Symmetrie bleibt y=ax^4+bx^2+c. Du hast 3 Koeffizienten zu bestimmen und brauchst dafür 3 Bedingungen.

f(2)=0

f"(2)=0  und

f'(2)=-8

Stelle das gleichungssystem auf und löse es um die Koeffizienten zu bestimmen.

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