Zeige: Der Graph mit der Funktionsgleichung f(x)=3x - x*sqrt{x} - 4 hat die x-Achse als Tangente.

Question

Aufgabe:

Zeige: Der Graph mit der Funktionsgleichung \( f(x)=3 x-x \cdot \sqrt{x}-4 \) hat die \( x \) -Achse als Tangente.

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir bitte ausführlich mit rechenschritt erklären?


Vielen Dank

Answer 1

f(x)=3x-x^3/2-4; Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen:

f '(x)=3-3/2·x^1/2; 0=3-3/2·x^1/2; 3=3/2·x^1/2; 2=√x; x=4.

Funktionswert an der Stelle 4:

f(4)=12-8-4=0.

Der Graph mit der Funktionsgleichung f(x)=3x−x⋅√x−4 hat die x -Achse als Tangente.

Answer 2

Hallo Yannic,

Wenn der Graph der Funktion \(f\) die x-Achse als Tangente hat, so muss dort die Steigung =0 sein. Also suche zunächst die X-Werte, bei denen die Steigung =0 ist:$$f(x)=3 x-x \cdot \sqrt{x}-4 \\ f'(x) = 3 - \frac 32 \sqrt x \\ f'(x)  = 0 \implies x = 4$$Nun prüfe, ob bei der gefundenen Position die X-Achse berührt wird, d.h. \(f(x=4) \stackrel ?=0\) ist$$f(x=4) = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 - 4 = 0  $$Der Vollständigkeit halber müsste nun noch geprüft werden, ob \(f''(x=4) \ne 0\) ist oder man schaut sich den Graphen an:

~plot~ 3x-x*sqrt(x)-4;[[-3|9|-5|2]] ~plot~

Daraus folgt, dass der Punkt \((4;\, f(4))\) ein Berührpunkt des Graphen von \(f\) mit der X-Achse ist, da \(f\) dort den Funktionswert und die Steigung 0 hat, und eine von 0 verschiedene Krümmung.

Answer 3

f ( x ) = 3*x − x * √ x − 4 ;

f ( x ) = 3 x - x ^(3/2) - 4
f ´( x ) = 3 - 3/2 * x ^(1/2)
Die x-Achse hat die Steigung null
Wann hat f ´die Steigung 0
3 - 3/2 * x ^(1/2) = 0
3/2 * x^(1/2) = 3
x^(1/2) = 2  | quadrieren
x = 4

im Punkt ( 4 | 0 ) ist f eine Tangente an der x-Achse.