Fragen zur Analysis 2 Vorlesung

Question

Aufgabe:

Es bezeichne GL(d,IK) := {A ∈IK^d*d : A invertierbar}.

Zeigen Sie :

a) GL(d,K) ist offen in IK^d*d

^{b) Die Abbildung           GL(d,IK) →  GL(d,IK) .}                    

                                     ^{A ↦  A^-1                                   ist stetig.}

Problem/Ansatz:

Wie kann ich die beiden Aussagen beweisen ?

Vielen Dank

Comments

Hallo,

(standardmäßig) benötigst Du folgende Aussage: Wenn für die Matrix D (Dimensionen wie oben) gilt: \(\|D\| <1\), dann ist \(I+D\) invertierbar und

$$\|(I+D)^{-1}\| \leq \frac{1}{1-\|D\|}$$.

Ist das bekannt?

Gruß

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Leider nicht ganz

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Es soll Leute geben, die halten treffsichere Titel für eine Tugend. Ich gehöre dazu. Dieser aber nicht.

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Was meinen Sie damit ?

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Hallo,

"Leider nicht ganz"

Dann weiß ich leider nicht, wie es gehen soll.

Gruß

Answer 1

a) ein Ansatz wäre hier sich die Determinanten Funktion anzuschauen.

Diese ist stetig.

Betrachtet man nun als Definitionsbereich die Invertierbaren (pxp) Matrizen, so ist der Wertebereich ℝ\{0}, da invertierbare Matrizen ja eine Determinante ungleich 0 besitzen.

ℝ\{0} ist offen und da die Determinanten-Funktion stetig ist ist das Urbild von ℝ\{0} unter der Determinantenfunktion, also genau die Menge der invertierbaren Matrizen auch offen.

b)

Hier kann man das ja so angehen. A^-1= $$ \frac{Adj(A)}{det(A)}$$ Die Determinante ist stetig und ungleich 0 für den Definitionsbereich (invertierbare Matrizen). Jetzt müsste man noch zeigen dass A → Adj(A) stetig ist.

Adj(A) =(a_ij)   a_ij= (-1)^i+j ·det(A_ji)  Die Stetigkeit könnte man sich jetzt Komponentenweise über das Folgenkriterium überlegen oder man geht wieder über die Rechenregeln von stetigen Funktionen und sagt dass a_ij--> det(A_ji) stetig ist und (-1)^i+j konstant.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

LG

Comments

Das ist perfekt , Vielen Dank

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Hab jetzt noch was zur b hingeschrieben, bin mir da aber echt nicht sicher ob das so gehen würde.